教学案例《函数的应用举例》
南宁市第十四中学高中部陈元菊
一、案例背景：
高中的数学知识也涉及初中的内容，可以说高中数学知识是初中数学知识的延拓和提高，但不是简单的重复，因此在教学中要正确处理好二者的衔接，深入研究两者彼此潜在的联系和区别，做好新旧知识的串连和沟通。
由于实行九年制义务教育和倡导全面提高学生素质，现行初中数学教材中在函数的内容上进行了较大幅度的调整，难度、深度和广度大大降低，而在高一学习中函数应用教广泛。
为提高学生对初高中衔接重要性的认识，使学生初步了解高中数学学习的特点。
为此，结合实例，在上课时找出结合初高中知识的衔接点，给学生分析初高中教学在函数这一章学习方法的延续和存在的区别。
二、案例主题:
在初中基础上,进一步通过建立函数模型以及运用模型解决问题，体会函数的广泛应用及运用方法。
通过思考、交流、合作等探究过程，培养学生的探索精神和创新意识，养成良好的学习习惯。
学会使用信息技术工具如计算器,计算机,来计算、整理、表达信息。
重点数学建模的方法. 难点根据实际问题合理的选择数学模型和科学评价模型优劣
三、案例过程：
引入：“能够运用所学知识解决简单的实际问题”是九年义务教育数学教学大纲规定的初中数学教学目的之一，学生通过初中的学习已经基本具备这种能力。
从初中到高中目前已经学习过的几类重要的函数：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
在解决实际问题过程中常用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式，函数图像性质。
最核心是确定函数解析式，在初中我们就已经学习到待定系数法。
【中考26题】：随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y 与投资量x成正比例关系，如图-①所示；种植花卉的利润2y与投资量x成二次函数关系，如图-②所示（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别求出利润关于投资量的函数关系式
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
图①图②
在初中，函数关系具体（如本题中已明确是正比例关系、二次函数关系），且有图形提供数据，学生只需用待定系数法确定各函数中的常数，即可获得函数关系，再将其化为常规的函数问题解决。
到高中，思维层次上升，对函数应用提出更高的要求。
问题提出：
以下是对某一地区不同身高的未成年男性的体重平均值调查统计表：
问题：据医学测定，如果体重超过相同身高男性平均值的1.2倍属偏胖，低于相同身高男性平均值的0.8倍属偏瘦。
现在某地区某中学有一男生，其身高175cm，体重为75kg,试问他的体重是否正常？
1、引导分析：
启发（1）：表中身高栏中没有175 cm这个数值，对应的体重只有靠推测，依据统计表，是否可以找到身高与体重的关系呢？
y来表示，启发（2）：根据身高与体重的数对关系，假设身高用x来表示，体重用
那么x、y之间有什么函数关系呢？
以身高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中，描出各点，设 A（60，6.13）、B（70，7.90）、C（80，9.99）、D（90，12.15）、E（100，15.02）、F（110，17.50）、
G （120，20.92）、H （130，26.86）、I （140，31.11）、J （150，38.85）、K （160，47.253）、L （170，55.05）
（观察连线接近的函数图象，猜想应当选择哪种函数关系式；然后用待定系数法确定函数中的常数，找出与之接近的模拟函数）
2、讨论模型：（备好坐标纸，学生两两合作，描点，成图，猜想函数模型）， 学生操作后易发现（推选代表发言）：
猜想模拟函数：（1）二次函数型：
（2）指数函数型：
两种意见的同学分别用待定系数法确定所选函数式中的待系数，
（学生继续两两合作，代值，计算（用计算器），求解）
猜想1：二次函数型，设函数关系为c bx ax y ++=2，
（因时间限制，统一选择点A （60，6.13）, C (80,9.99), E (100,15.02)
坐标代入得:⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅+⋅=+⋅+⋅=+⋅+⋅=579
.101175
.000146
.010010002.15808099.9606013.6222c b a c b a c b a c
b a
近似函数关系式为: 579.101175.000146.02+-=x x y
猜想2:指数函数型：设函数关系为x b a y ⋅=,
选择点B （70，7.90）, L (170,55.05)坐标代入,得:
⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=02.12
05.5590.717070
b a b a b a 近似函数关系式为:x y 02.12⨯=
3、评价模型优劣：
记二次函数型: 579.101175.000146.0)(2+-=x x x g
记指数函数型:x x f 02.12)(⨯=
将H （130，26.86）, J （150，38.85）,K （160，47.253）分别代入)(x f 、
)(x g 中，计算并比较误差：
得到(1): 2.26)130(=f 误差:-0.66
7.24)130(=g 误差:-2.16
(2)： 0.39)150(=f 误差:0.15
7.32)150(=g 误差:-6.15
（3）：5.47)160(=f 误差:0.25
1.37)160(=g 误差:-10.15
引导学生分析上述两个模型的优劣,结合模拟函数图象与散点图切合的情况（电脑制作）和计算的结果误差情况,指出从形的角度考虑，要求剩余点较少，从数的角度考虑，要求计算的误差要小,这样选出的函数才比较接近实际情况.
比较后得出：用指数函数型:x
y 02.12⨯=拟合较符合实际。
把x =175代入得: 98.63=y 即身高175 cm 的男性体重平均值98.63 kg 2.122.198.6377>≈÷
结论：这名男生体形偏胖。
问题：已知姚明的身高为226cm,体重为125kg,他的体重是否正常？
把x =226代入得: 66.175=y ，即相同身高226cm 男性平均值为66.175 kg
8.071.066.175125<≈÷
结论：姚明的体形偏瘦。
相比初中函数应用题，高中内涵更丰富，知识信息更广泛，逻辑推理强，抽象程度高，知识难度大，但是初高中函数应用有很多知识衔接点，如总是通过用待定系数法求函数的解析式再解决实际问题等。
4、小结归纳：（理论上升，引导学生进行归纳总结）
函数拟合过程的一般步骤：
⑴、根据表格中的数据描点画出图象，该图象就叫做散点图；
⑵、根据散点的分布猜想应当选择哪种函数关系式；
⑶、用待定系数法确定所选函数式中的待定系数,求出函数表达式；
⑷、用求出的函数表达式解决实际问题。
（初中，教师讲得细，类型归纳得全，学生习惯于围着教师转，不需要独立思考和对规律进行归纳总结。
而到了高中，数学学习要求学生勤于思考，善于归纳总结规律，掌握数学思想方法，做到举一反三，触类旁通）
四、教学反思：
1、初中数学教学内容少，知识难度不大，教学要求较低，在高一阶段数学的教与学中明显出现了障碍“学生感到难学，教师感到难教”，高一《函数应用》章节相对于初中而言, 逻辑推理强，抽象程度高，知识难度大，这使得刚入高中的学生不容易适应这种教学方法，听课时就存在思维障碍。
2、上课学生不爱举手发言，课内讨论气氛不够热烈，有时点名回答问题也不够直爽。
心理上的闭锁性，给教学带来很大的障碍，表现在学生课堂上启而不发，呼而不应。
搞好初高中衔接，除了优化教学环节外，还应充分发挥情感和心理的积极作用。
我们在高一教学中，应注意运用情感和成功原理，调动学生学习热情，培养学习数学兴趣。
3、多媒体技术的出现为我们教学手段改进提供了新的机会，产生不可估量的教学效果。
比较两个模型的优劣,模拟函数图象与散点图切合的情况（电脑制作）并计算结果误差，省时省力，而且有说服力。
4、培养学生的准确计算能力
用待定系数法列方程组，通过计算求借函数表达式，很多学生计算不出或者花时间太多，造成课堂节奏慢，时间分配上，重心不突出。
总之，在高一数学的起步教学阶段，抓好初高中数学教学衔接，分析清楚学生学习数学困难的原因，便能使学生尽快适应新的学习模式，从而更高效、更顺利地接受新知和发展能力。