C 2
《线性系统理论》试卷及答案
1、（20分）如图所示RLC 网络，若e(t)为系统输入变量r(t)，电阻R 2两端的电压为输出量y(t)，选定状态变量为 x 1(t)=v 1(t),x 2(t)=v 2(t),x 3(t)=i(t) 要求列写出系统的状态空间描述。

2、（15分）求出下面的输入输出描述的一个状态空间描述。

y (4)+4y (3)+3y (2)+7y (1)+3y=u (3)+ 2u (1)+ 3u
3、（15分）计算下列线性系统的传递函数。

[]
210X 13101X y -⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦=
4、（10分）分析下列系统的能控性。

0111X X u a b •
⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦
5、（10分）分析下列系统的能观性。

[]1110a X X y X
b •
⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦
6、（15分）判断下列系统的原点平衡状态x e 是否大范围渐近稳定。

12
2
2112
3x x x x x x
==--
7、（15分）已知系统的状态方程为
221012000401X X u •
--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
试确定一个状态反馈阵K ，使闭环极点配置为λ1*=-2、λ2*=-3、λ3*=-4。

答案：
1、（20分）如图所示RLC 网络，若e(t)为系统输入变量r(t)，电阻R 2两端的电压为输出量y(t)，选定状态变量为
x 1(t)=v 1(t),x 2(t)=v 2(t),x 3(t)=i(t) 要求列写出系统的状态空间描述。

列出向量表示形式
解出解出解出r x x x L R x x x r
x L
R x x x x
x x C R x x x C x
C x r x R x L L L
L
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-
-=-=+=+==++1321113211
31
11
32122222112211333113000x
y x x
L
2、（15分）求出下面的输入输出描述的一个状态空间描述。

y (4)+4y (3)+3y (2)+7y (1)+3y=u (3)+ 2u (1)+ 3u
[]得出了状态空间表达式
列出向量表示形式，就求导，有
选取状态变量令有令
⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++=⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧+----=========⎩
⎨⎧++==++++++++=++++++===43211025233375y ~y ~x y ~x y ~...y ~x y ~x y ~3y ~2y ~y ~3y ~7y ~3y ~4y ~u 3734p 1y ~3
734p 32p y d/dt
p 4214321(4)4
3(2)22
(1)1(3)4(1)21(1)(3)(1)(2)(3)(4)2
342
343
x x x x x x x y u x x x x x x x x y u p p p u p p p p
3、（15分）计算下列线性系统的传递函数。

[]X
y u X 10103112X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=
[][]
[]计算得出传递函数
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-------=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--==⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--=----1021131)3)(2(1
10)()(21131)3)(2(13112)()()(1010311210103112X 1
1
11s s s s B A Is C s G s s s s s s A Is B
A Is C s G C
B A X
y u X
4、（10分）分析下列系统的能控性。

0111X X u a b •
⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦
[]系统完全能控
系统不完全能控2
1
211det 11
11102
22
=-≠<-=--=⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡-==⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=c c c RankM ab b RankM ab b b ab M ab b
b
AB B
Mc b B a A
5、（10分）分析下列系统的能观性。

[]1110a X X y X
b •
⎡⎤
==-⎢⎥
⎣⎦
[]系统完全能观
系统不完全能观2
1
211det 1111101=+≠<+=+-=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=o o o o RankM a b RankM a b a b M b a CA C M C b a A
6、（15分）判断下列系统的原点平衡状态x e 是否大范围渐近稳定。

大范围渐近稳定的
系统的原点平衡状态是解可知，状态方程的非零程的解
为任意值也不是状态方同理，可以推出的解
为任意值不是状态方程因此，为任意值矛盾，与，推出，而状态方程中解
为任意值是状态方程的假定：为任意值
、为任意值、，有半负定
正定，具有无穷大性质
0)(,0,0030,0,02,010)(6)(6662)(3)(312212221121122122
212211*********
212211221≠======⎩⎨
⎧===-=--+=+=+=--==X V x x x x x x x x x
x x x x x x X V x x x x x x x x x x x x X V x x X V x x x x
x x
7、（15分）已知系统的状态方程为
221012000401X X u •
--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
试确定一个状态反馈阵K ，使闭环极点配置为λ1*=-2、λ2*=-3、λ3*=-4。

[]
3
213)2()1()
2(03
241021122321000000040021122321)1(024269()4)(65()4)(3)(2(232k k k s k s k k s s X k k k X X KX
u k k k K s s s s s s s s s 、、个方程，可求出列出同幂次的系数相同，可式中式和特征方程为：
代入状态方程，有
令
期望的特征方程=---+--+⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----====+++=+++=+++=。