1.(10分）对常微分方程初值问题(0)1(01)dyydx y x ⎧=-⎪⎨⎪=≤≤⎩取步长0.1,h = 分别用改进的Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算,写出公式和简要推导过程，并把结果填入表内。

解：（1） 改进的Euler 方法： 代入公式得10.905n n y y +=，即0.905n n y = …2分 （2）标准的四阶Runge-Kutta 方法：1123412132430.1(22)0.90483756(0.05)0.95(0.05)0.9525(0.1)0.90475n n n n n nn nn n y y k k k k y k y k y k y k y k yk y k y +⎧=++++=⎪⎪=-⎪⎪=-+=-⎨⎪=-+=-⎪⎪=-+=-⎪⎩即0.9048375n n y = ……（4分）2. 对常微分方程初值问题12(0)1(01)dyydx y x ⎧=-⎪⎨⎪=≤≤⎩ 取步长0.1,h = 分别用改进的Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算,写出公式和推导过程，并把结果填入表内。

解：（1） 改进的Euler 方法： 代入公式得10.95125n n y y +=，即0.95125n n y =……………….(2分)（2）标准的四阶Runge-Kutta 方法：1123412132430.1(22)0.9512196/2(0.05)/20.4875(0.05)/20.4878125(0.1)/20.47622n n n n n nn nn n y y k k k k y k y k y k y k y k yk y k y +⎧=++++=⎪⎪=-⎪⎪=-+=-⎨⎪=-+=-⎪⎪=-+=-⎪⎩即0.95145314n n y =……(4分)《数值分析》复习题一、填空题1.绝对误差限=末位的一半+单位，相对误差限=绝对误差限/原值*100%1. 度量一根杆子长250厘米，则其绝对误差限为 ，相对误差限是 。

2. 测量一支铅笔长是16cm ， 那么测量的绝对误差限是 ，测量的相对误差限是 。

3. 称量一件商品的质量为50千克，则其绝对误差限为 ，相对误差限是 。

2.利用平方差的方法4. 在数值计算中，当a _____________5. 在数值计算中，计算356-应变成 来计算。

6. 在数值计算中，计算1cos3-应变为 来计算。

3.f 的位数与f （x ）的最高次相同的话，就是最高位的常数，大于的话为07. 若543()2792100f x x x x x =-+-+，则12345[1,4,4,4,4,4]f =______________，123456[1,3,3,3,3,3,3]f = 。

8. 函数()f x 关于三个节点012,,x x x 的拉格朗日二次插值多项式为3.f(x)=f(x0)[(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)] ，4(,)n B f x =∑f （k/n ）Pk(x)=x9. 当()f x x =时，(,)n B f x = 。

10. 代数式222236()66x xR x x x +=++ ______________,323222122()23x x R x x x ++=++ __________________.11. 已知方程组123123123103127322115x x x x x x x x x --=-⎧⎪-++=⎨⎪+-=-⎩，那么收敛的Jacobi 迭代格式为：，收敛的G S -迭代格式为：收敛理由是 严格对角占优矩阵 ,12. 已知线性方程组1233111193234184x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，那么收敛的Jacobi 迭代格式：12.化为线性方程2.调整排序收敛的G-S 迭代格式： 。

收敛理由是 严格对角占优矩阵 ,13. 求积公式0()nn kk k I Af x ==∑至少有n 次代数精度的充要条件是________它是插值型____________;当n 是偶数时，牛顿-柯特斯公式()0()()nn n kk k I b a Cf x ==-∑至少有___n+1__P103_____次代数精度；高斯求积公式()()()nbk k ak f x x dx A f x ρ=≈∑⎰至少有_____2n+1_P116____次代数精度。

14. 设7227227227n n A R ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则矩阵A 的特征值的界为 （2.2）与7的和、差为界 ，矩阵1A -的特征值的界为 界的倒数 。

A ∞=max （1<=i<=n ）∑(j(1,n))|aij|等价于每一列中最大值的和 1A = max （1<=j<=n ）∑(i(1,n))|aij|等价于每一行中最大值的和 2A =作业第五章12 P11615. 已知1235A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，314x ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么A ∞1A = ________,2A ∞12x = ________,其中相等的范数有_______A ∞=____________1x =__________. 二、判断题1. 如果插值节点01,,...,n x x x 互不相同，则满足插值条件的n 次插值多项式是存在且唯一。

（ x ）2. 迭代改善法能够解决一切方程组的病态问题。

（ x ）3. 区间[,]a b 上的三次样条插值函数()S x 在[,]a b 上具有直到三阶的连续函数。

（ ）4. 已知1 2.53 3.5A -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，51x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，那么1A =1x 。

（ 1 ）5. 法来完成。

（ 1 ）6. 插值法是函数逼近、数值微分和微分方程数值解的基础。

（ 1 ）7.。

（ ）8. 在使用松弛法（SOR ）解线性代数方程组AX b =时，若松弛因子ω满足11ω-≥，则迭代法一定不收敛。

（ 1 ） 9. 求解单变量非线性方程()0f x =，弦截法具有1.618阶收敛，抛物线法具有1.840阶收敛，牛顿法具有2阶收敛。

（ 1） 10. 常微分方程初值问题数值解法的理论根据是函数的泰勒展开。

（ 1 ） 11. 解单变量非线性方程()0f x =，牛顿法在单根附近具有2阶收敛，若再用Steffensen 迭代法，则为3阶收敛。

（ 1 ） 三、计算解答题和证明题构造差分表，用三点牛顿插值多项式，求12.0e和72.0e的近似值。

1.列出牛顿的插值表2.Px=f（x0）+……P323、试用最小二乘法求一次多项式拟合以上数据，并求出均方误差，某实验数据如下：P75（2）4、二分法求根 作业第七章1(1) 方程034=-+x x 在[1,2]附近的根，使绝对误差不超过0.01（绝对误差估计式：11*2++-≤-n n ab x x ）; (2) 方程32()33f x x x x =+--在[1,2]附近的根，使绝对误差不超过0.01;(3) 方程4210x x +-=,在[-2,-1]附近的根，使绝对误差不超过0.01。

第六章5、用适当的方法解方程组：(1)123123123424421051145219x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩;(2)123310413150134x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦; (3)123210315210231x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 作业第四章146、写出复合梯形公式、复合辛普生公式、复合柯特斯公式及龙贝格公式之间的关系，并用龙贝格方法计算积分dx x⎰311，误差限不超过310-。

7、写出复化梯形公式、复化辛普生公式、复化柯特斯公式及龙贝格公式关系式，并计算积分cos x e xdx π⎰，已知134.778519T =-，217.389259T =-，413.336023T =-，812.382162T =-8、设方程组12341234123412347239210683032910x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=-⎧⎪++-=⎪⎨--+-=⎪⎪-+-=⎩，写出Jacobi 迭代法和G S -迭代法的迭代格式，并证明它们是收敛的。

9、对常微分方程初值问题 （1）(0)1(01)dyydx y x ⎧=-⎪⎨⎪=≤≤⎩（2）2(0)1(01)dy y dx y x ⎧=-⎪⎨⎪=≤≤⎩（3）12(0)1(01)dyy dx y x ⎧=-⎪⎨⎪=≤≤⎩ 取步长0.1,h = 分别用Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算，列表写出结果，并与准确值比较。

1011、设A 是正交矩阵，证明2()1Cond A =。

12、（1）当()f x x =时，(,)n B f x x =； （2）1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆； （3）如果A 是正交阵，则2()1cond A =。

13、证明：适当选取待定参数a , 求积公式)]()0([)]()0([2)(''20h f f ah h f f hdx x f h-++≈⎰的代数精度可达到3=m 。

14、试证明：适当选取待定参数0A , 1A ，2A ，求积公式)2()()0()(21300h f A h f A f A dx x f h++≈⎰的代数精度可达到2=m 。

15、证明Chebyshev 多项式()n T x 满足微分方程2'''2(1)()()()0n n n x T x xT x n T x --+=。

16、已知方阵221111321A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， （1） 证明：A 不能分解成一个单位下三角阵L 和一个上三角阵U 的乘积；（2） 试通过交换A 的行，进行LU 分解。

二、课本习题1．每章的“复习与思考题” 2. P48, 2,4,8,16;P94,7,10,13,16,19; P135,1,14;P176,7,8,9,10,13,19,20; P209,1,2;P238,1,3,7,12; P275,1,2; P315,1,4,10.1.(10分）对常微分方程初值问题(0)1(01)dyydx y x ⎧=-⎪⎨⎪=≤≤⎩取步长0.1,h = 分别用改进的Euler 法和标准的四阶Runge-Kutta 法作数值计算,写出公式和简要推导过程，并把结果填入表内。