实例1 发行彩票的创收利润
某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元;三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润.
每张彩票平均能得到奖金
05512()10000500001010E X p =⨯+⨯++⨯0.5(),=元
每张彩票平均可赚20.50.3 1.2(),--=元
因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为：100000 1.2120000().⨯=元 实例2 如何确定投资决策方向?
某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元．若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资?
解：设 X 为投资利润，则
()80.320.71(),E X =⨯-⨯=万元
存入银行的利息:1050.5(),%⨯=万元故应选择投资.
实例3 商店的销售策略
某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记使用寿命为X （以年计），规定
1,1500;12,2000;23,2500;3,3000.
X X X X ≤<≤<≤>一台付款元一台付款元一台付款元一台付款元
10,1e ,0,()100,
0.x X x f x x Y -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 设寿命服从指数分布概率密度为
试求该商店一台家用电器收费的数学期望
解：1
1001{1}e d 10
x P X x -≤=⎰0.11e -=-0.0952,= 21011{12}e d 10
x P X x -<≤=⎰0.10.2e e --=-0.0861,= 31021{23}e d 10
x P X x -<≤=⎰0.20.3e e 0.0779,--=-= 1031{3}e d 10x P X x +∞->=⎰0.3e 0.7408.-== Y 因而一台收费的分布律为
()2732.15,E Y =得2732.15.即平均一台家用电器收费元
例1 某单位内部有260部电话分机，每个分机有4%的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候?
解： 令),260,2,1(01 =⎩
⎨⎧=k k k X K 个分机不要用外线第个分机要用外线第，26021,,,X X X 是260个相互独立的随机变量，且04.0)(=i X E ，26021X X X m +++= 表示同时使用外线的分机数，根据题意应确定最小的x 使%95}{≥<x m P 成立。

由上面定理，有
⎰∞--≈⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--≤--=<b t dt e p p p x p p p m P x m P 22
21)1(260260)1(260260}{π 查得95.09505.0)65.1(>=Φ，故，取65.1=b ，于是
61.1504.026096.004.026065.1260)1(260≈⨯+⨯⨯⨯=+-=p p p b x 也就是说，至少需要16条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候。

例2 用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为100克，标准差为10克，一箱内装200袋味精，求一箱味精净重大于20500克的概率。

解： 设一箱味精净重为X 克，箱中第k 袋味精的净重为k X 克，200,,2,1 =k . 20021,,,X X X 是200个相互独立的随机变量，且100)(,100)(==k k X D X E ，
2100)(,20000)(,20000)()(20021===+++=X D X D X X X E X E 因而有 }20500{1}20500{≤-=>X P X P
0002.0)54.3(12100500210020000
1=Φ-≈⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤--=X P 例3设一批产品的强度服从期望为14，方差为4的分布。

每箱中装有这种产品100件，问：
（1） 每箱产品的平均强度超过14.5的概率是多少？
（2） 每箱产品的平均强度超过期望14的概率是多少？
解：设(1,2,,100)i X i =是第i 件产品的强度，1100,
,X X 相互独立，则()14,var() 4.i i E X X ==记100
11100i i X X ==∑，
则近似
有14~(0,1)0.2X X X N -==，于是 （1）1414.51414{14.5}{}{ 2.5}1(2.5)0.00620.20.20.2
X X P X P P φ--->=>=>≈-= 可见，100件产品的平均强度超过14.5的概率非常之小。

（2）14141414{14}{}{0}(0)0.50.20.20.2
X X P X P P φ--->=>=>≈= 于是，100件产品的平均强度超过14的概率为50%。

例4 计算机在进行数字计算时，遵从四舍五入原则，为简单计，现在对小数点后面第一位进行舍入运算，则舍入误差X 可以认为服从[-0.5,0.5]上的均匀分布，若独立进行了100
次数字计算，球这些计算的平均舍入误差落在区间[,]2020-
上的概率。

解：设(1,2,,100)i X i =是第i 次运算中产生的误差，1100,
,X X 相互独立，都服从[-0.5,0.5]上的均匀分布。

这时，则1()0,var().12
i i E X X ==记10011100i i X X ==∑，则近似
有
100
100
100
1
1000
~(0,1)
i
i
i
X
Y X N
=
-⨯
==
∑
，于是平均舍入误差落在区
间
[上的概率为
100
11
1
{{{33}(3)(3)0.9973
100i i
i i
P X P X P Xφφ
==
≤=≤=-≤≈--=
∑
例5某公司有200名员工参加一种资格证书考试。

按往年经验该考试通过率为0.8,。

试计算这200名员工至少有150人考试通过的概率。

解：设
1,
(1,2,,200)
i
i
X i
i
⎧
==
⎨
⎩
第人通过考试
，第人未通过考试
，依题意知，
200
1
{1}0.8,2000.8160,(1)32,
i i
i
P X np np p X
=
===⨯=-=∑是考试通过人数，且近似有
200
160
~(0,1)
i
X
N
-
∑
，于是
200200
200
1
160160
{150} 1.77}1( 1.77)0.96
i i
i
i
X X
P X P Pφ=
--
≥=≥=≥-≈--=
∑∑
∑
即至少有150名员工通过这种资格考试的概率为0.96。

例8某市保险公司开办一年人身保险业务，被保险人每年需交付保险费160元，若一年内发生重大人身事故，其本人或家属可获2万元赔金。

已知该市人员一年内从此项业务所得到的总收益在20万到40万元之间的概率是多少？
解：设
1,
(1,2,,5000)
i
i
X i
i
⎧
==
⎨
⎩
第个被保险人发生重大事故
，第个被保险人未发生重大事故。

，
，依题意知，
5000
1
{1}0.005,25,
i i
i
P X np X
=
===∑是5000个被保险人中一年发生重大事故的人数，保险公司一年内从此项业务所得到的总收益为
5000
1
0.01650002
i
i
X
=
⨯-∑万元，于是
50005000
115000{200.0165000240}{2030}
25(1.0025)( 1.0025)0.6839i i i i i P X P X X P φφ==≤⨯-≤=≤≤-=≤≤≈--=∑∑∑。