记法(1) 用一个__希腊字母__α，β，γ等来表示，如上图1中的平面记为平面α (2)用两个大写的___英文字母___(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如上图1中平面记为平面AC 或平面BD(3) 用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如上图1中的平面记为平面ABC 或平面_BCD __等(4)用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形_顶点_)来表示，如上图1中的平面可记为平面ABCD2．点、线、面的位置关系的表示A 是点，l ，m 是直线，α，β是平面.3．公理14．公理25．公理3例题精讲【题型一、平面的概念】【例1】下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50 m，宽是20 m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【方法技巧】习惯上，用平行四边形表示平面；在一个具体图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面．【题型二、点、线、面的位置关系的表示】【例2】．如图所示，平面ABEF记作平面α，平面ABCD记作平面β，根据图形填写：(1)A∈α，B________α，E________α，C________α，D________α.(2)α∩β＝________.(3)A∈β，B________β，C________β，D________β，E________β，F________β.(4)AB________α，AB________β，CD________α，CD________β，BF________α，BF________β. 【例3】．已知直线m⊂平面α，P∉m，Q∈m，则( )A．P∉α，Q∈α B．P∈α，Q∉α C．P∉α，Q∉α D．Q∈α【方法技巧】从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．【题型三、关于数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)的互译问题】【例4】用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC.(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.【方法技巧】学习几何问题，三种语言间的互相转换是一种基本技能．要注意符号语言的意义，如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面间的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．由图形语言表示点、线、面的位置关系时，要注意实线和虚线的区别．【题型三、三个公理的理解】【例5】判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)一点和一条直线确定一个平面；(2)经过一点的两条直线确定一个平面；(3)两两相交的三条直线确定一个平面；(4)首尾依次相接的四条线段在同一平面内．【方法技巧】公理2是确定平面的依据，对涉及这方面的应用，务必分清它们的条件；立体几何研究的对象是空间点、线、面的位置关系，要有一定的空间想象能力．对于问题中的点、线，要注意它们可能存在的不同的位置关系，以及由此产生的不同结果．【题型四、点共线与线共点的问题】【例6】已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P、Q、R三点共线．【方法技巧】证明点线共面的常用方法：(1)归一法：先由部分元素确定一个平面，再证其余元素也在这个平面内，其中第一步要应用公理2，第二步要应用公理1.(2)重合法：应用公理1，先由部分元素分别确定平面，然后应用公理2证明这几个平面重合．●误区警示易错点：对于条件所给的点的位置关系考虑不全面例：空间中四点，如果任意三点都不共线，那么由这四个点可以确定多少个平面？[错解]因为不共线的三点确定一个平面，所以由题设条件中的四点可确定四个平面．[错因分析]忽略了四个点在同一个平面上的可能．[思路分析]空间中任意三点都不共线的四点有两种位置关系：一种是任意不共线的三点所确定的平面过第四个点，此时，这四个点只能确定一个平面；另一种是任意不共面的三点所确定的平面不过第四个点，此时，这四个点可确定四个平面．[正解]一个或者是四个．巩固训练1．下列命题中正确命题的个数是()①三角形是平面图形；②四边形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形A．1个B．2个C．3个D．4个2．如右图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为()A．平面MN B．平面NQPC．平面αD．平面MNPQ3．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是()A．A∈l，l∉αB．A∈l，l⊄αC．A⊂l，l⊄αD．A⊂l，l∉α4．三点可确定平面的个数是()A．0 B．1 C．2 D．1或无数个5．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点6．看图填空：(1)AC∩BD＝________. (2)平面AB1∩平面A1C1＝________.(3)平面A1C1CA∩平面AC＝________.(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________.(5)平面A1C1∩平面AB1∩平面B1C＝________.(6)A1B1∩B1B∩B1C1＝________.7．求证：一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面．8．三个平面α、β、γ两两相交，交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，已知直线a和b不平行．求证：a、b、c三条直线必过同一点．（二）空间中直线与直线之间的位置关系知识梳理1．异面直线(1)概念：不同在___任何一个___平面内的两条直线叫做异面直线．(2)图示：如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．2．空间两条直线的位置关系(1)相交直线——同一平面内，__有且只有__一个公共点．(2)平行直线——同一平面内，__没有___公共点．(3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点．注：(1)若无特别说明，书中的两条直线均指不重合的两条直线．(2)空间两条直线的位置关系空间两条直线平行3．公理44．等角定理5．两条异面直线所成的角(夹角)(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角α的范围：0°＜α≤90°.(3)两条异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b.例题精讲【题型一、空间两条直线位置关系的判定】【例1】已知a，b，c是空间三条直线，下面给出四个命题：①如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；②如果a，b是异面直线，b，c是异面直线，那么a，c也是异面直线；③如果a，b是相交直线，b，c是相交直线，那么a，c也是相交直线；④如果a，b共面，b，c共面，那么a，c也共面．在上述命题中，正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【方法技巧】1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．2．判定两条直线是异面直线的方法(1)方法一：证明两条直线既不平行又不相交．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．【题型二、公理4、等角定理的应用】【例2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．求证：(1)EF//E1F1；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.【方法技巧】求证两直线平行：一是应用公理4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点．求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．【题型三、求异面直线所成的角】【例3】如图，P是平面ABC外一点，PA＝4，BC＝，D，E分别为PC和AB的中点，且DE＝3.求异面直线PA 和BC所成角的大小．【方法技巧】1.求异面直线所成的角的一般步骤为：(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求．2．求两异面直线所成角的大小．(1)求两异面直线所成角的关键在于作角，总结起来有如下“口诀”：中点、端点定顶点，平移常用中位线；平行四边形柱中见，指出成角很关键； 求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；平行线若在外，补上原体在外边．(2)如果求得的角的余弦值为负值的话，这说明两条异面直线所成的角应该是所求角的补角，所以在指明所求角的时候，应该说“这个角或其补角”即为所求的角．特别提醒：两条异面直线所成角的范围：(0，2π]．巩固训练1．不平行的两条直线的位置关系是( ) A ．相交B ．异面C ．平行D ．相交或异面2．如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 和b ( ) A ．共面B ．平行C ．异面D ．平行或异面3．空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系( ) A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定4．已知∠ABC ＝120°，异面直线MN 、PQ 其中MN ∥AB ，PQ ∥BC ，则异面直线MN 与PQ 所成的角为( ) A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°5．在空间四边形ABCD 中，如图所示，AB AE ＝AD AH ，CB CF ＝CD CG，则EH 与FG 的位置关系是________．6．如图所示，在正方体ABCD －A′B′C′D′中，E 、F 、E′、F′分别是AB 、BC 、A′B′、B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.（三）空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系知识梳理1．空间中直线与平面的位置关系(1)位置关系：有且只有三种①直线在平面内——有无数个公共点；②直线与平面相交——有且只有一个公共点；③直线与平面平行——没有公共点．直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．(2)符号表示：直线l在平面α内，记为 l⊂α；直线l与平面α相交于点M，记为_l∩α＝M_；直线l与平面α平行，记为l∥α .(3)图示：直线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示．2．两个平面之间的位置关系(1)位置关系：有且只有两种①两个平面平行——没有公共点；②两个平面相交——有一条公共直线．(2)符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记为α∩β＝l.(3)图示：两个平面α，β平行，如图a所示；两个平面α，β相交于直线l，如图b所示．例题精讲【题型一、直线与平面的位置关系】【例1】下列五个命题中正确命题的个数是( )①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α 内的任何一条直线平行；③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.A．0 B．1 C．2 D．3【方法技巧】直线与平面位置关系的判断：(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．例题精讲【题型二、平面与平面之间的位置关系】【例2】α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是( )A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β【方法技巧】判断两平面之间的位置关系时，可把自然语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系．例题精讲【题型三、用反证法证明线面关系】【例3】已知：直线a∥b，a∩平面α＝P.求证：直线b与平面α相交．【方法技巧】到目前为止，我们认识了线线关系、线面关系和面面关系，但是我们只知道定义，没有充足的公理、定理可用，所以在证明有些结论时可以利用反证法．应用反证法证题时，要全面考虑反面的各种情况，逐一推出矛盾进行排除，具体步骤为：(1)假设结论不成立；(2)归谬；(3)否定假设，肯定结论．巩固训练1．圆柱的两个底面的位置关系是( )A．相交B．平行 C．平行或异面 D．相交或异面2．直线a与平面α平行，直线b⊂α，则a与b的位置关系是( )A．相交 B．平行 C．异面D．平行或异面3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )A．唯一一条直线不相交 B．仅两条相交直线不相交C．仅与一组平行直线不相交 D．任意一条直线都不相交4．下列四个命题中假命题的个数是( )①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行②两条直线没有公共点，则这两条直线平行③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．A．4 B．3 C．2 D．15．如图所示，A′B与长方体ABCD－A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系？6．如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其它面之间有什么位置关系？课后作业【基础巩固】1．如图所示，下列符号表示错误的是()A．l∈αB．P∉lC．l⊂αD．P∈α2．异面直线是指()A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线3．a，b为异面直线，且a⊂α，b⊂β，若α∩β＝l，则直线l必定()A．与a，b都相交B．与a，b都不相交C．至少与a，b之一相交D．至多与a，b之一相交4．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为() A．30°B．45°C．60°D．90°5．三棱台ABC－A′B′C′的一条侧棱AA′所在直线与平面BCC′B′之间的关系是() A．相交B．平行C．直线在平面内D．平行或直线在平面内6．平面α∥平面β，直线a∥α，则()A．a∥βB．a在面β上C．a与β相交D．a∥β或a⊂β7．已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系：(1)点C与平面β：________. (2)点A与平面α：________. (3)直线AB与平面α：________.(4)直线CD与平面α：________. (5)平面α与平面β：________.8．如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上．(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．9．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB 所成的角．10．如右图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，试判断(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系？(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系？(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系？(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系？【能力提升】1．如图所示，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线．2．如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1，C1，P三点所确定的平面α与长方体表面的交线．。