中考数学压轴题分类强化训练3-抛物线与圆
1、如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边△CDE 恰好与坐标系中的△OAB 重合，
现将△CDE 绕边AB 的中点G (G 点也是DE 的中点)，按顺时针方向旋转180°到△C 1DE 的位置。

(1)求C 1点的坐标；
(2)求经过三点O 、A 、C 1的抛物线的解析式；
(3)如图③，⊙G 是以AB 为直径的圆，过B 点作⊙G 的切线与x 轴相交于点F ，求切线BF 的解析式； (4)抛物线上是否存在一点M ，使得3:16:=∆∆OAB AMF S S ．若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

解(1)C 1(3，3)
(2)∵抛物线过原点O(0，0)，设抛物线解析式为y ＝ax 2
＋b x
把
A(2，0)，C`(3，3)带入，得420
933
a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得a ＝3，b ＝－23
∴抛物线解析式为y ＝
3x 2－23
x (3)∵∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，∴∠AFB＝30°
又AB ＝2 ∴AF＝4 ∴OF＝2 ∴F (－2，0) 设直线BF 的解析式为y ＝k x ＋b
把B(1，3)，F(－2，0)带入，得3
20
k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得k ＝33，b ＝233
∴直线BF 的解析式为y ＝
33x ＋23
3
(4)①当M 在x 轴上方时，存在M(x ，
3x 2－23
x )
S△AMF：S△OAB＝[
12×4×(3x 2－23x )]：[1
2
×2×4]＝16：3
得x 2
－2x －8＝0，解得x 1＝4，x
2＝－2 当x 1＝4时，y ＝
3×42
－23×4＝83；
当x 1＝－2时，y ＝
3×(－2)2
－23×(－2)＝83
∴M 1(4，
83)，M 2(－2，83
) ②当M 在x 轴下方时，不存在，设点M(x ，
33x 2－23
3
x ) S△AMF：S△OAB＝[－
12×4×(33x 2－233x )]：[1
2
×2×4]＝16：3
得x 2
－2x ＋8＝0，b 2
－4a c ＜0 无实解 综上所述，存在点的坐标为M 1(4，
83)，M 2(－2，83
)． 2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点P （2，3）为圆心的圆与y 轴相切于 点A ，与x 轴相交于B 、C 两点（点B 在点C 的左边）．
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的
2
1
．如果 存在，请直接写出所有满足条件的M 点的坐标；如果若不存在，请说明理由； （3）如果一个动点D 自点P 出发，先到达y 轴上的某点，再
到达x 轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q 处，求使点D 运动的总路径最短的路径的长．.
解：（1）联结P A ，PB ，PC ，过点P 作PG ⊥BC 于点G ．
∵⊙P 与y 轴相切于点A ， ∴P A ⊥y 轴，
∵P （2，3），
∴OG =AP =2，PG =OA =3 ∴PB =PC =2． ∴BG =1．
∴CG =1，BC =2． ∴OB =1，OC =3．
∴ A （0，3），B （1，0），C （3，0）
根据题意设二次函数解析式为：(1)(3)y a x x =--，
∴(01)(03)3a --=，解得a =
3
3
． ∴二次函数的解析式为：23433y x x =
-+ （2）存在．点M 的坐标为（0，3），（3，0），（4，3），（7，83）
（3）∵23433y x x =
-+=33
)2(33)34(3322--=+-x x x ，
∴抛物线的顶点Q （2，3
3-
）． 作点P 关于y 轴的对称点P ’，则P ’（-2，3）．
联结P ’ Q ，则P ’ Q 是最短总路径， 根据勾股定理，可得P ’ Q =
83
3．如图，在直角坐标系xoy 中，已知点)3,2(P ，过P 作轴y PA ⊥交y 轴于点A ，以点P 为圆心PA 为半径作⊙P ，交x 轴于点C B ,，抛物线c bx ax y ++=2经过A ，B ，C 三点． （1）求点A ，B ，C 的坐标；
（2）求出该抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在点Q ，使得四边形ABCP 的面积是BPQ ∆面积
的2倍？若存在，请求出所有满足条件的点；若不存在，请说明理由．
解：（1）过P 作BC PD ⊥交BC 于D ,
由题意得:2===PC PB PA ,3==OA PD
∴1==CD BD ,
∴1=OB
∴)3,0(A ,)0,1(B ,)0,3(C
y x
P
A
B
C
Q
O
（2）设该抛物线解析式为：)3)(1(--=x x a y ，则有
)30)(10(3--=a 解之得3
3=
a 故该抛物线的解析式为)3)(1(3
3
--=x x y （3）存在
∵︒=∠90BDP ,2,1==BP BD ∴2
1
cos ==
∠BP BD DBP ∴︒=∠60DBP ∴︒=∠60BPA
∴ABP ∆与BPC ∆都是等边三角形 ∴BCP ABP ABCP S S S ∆∆==22四边形 ∵)0,1(B ，)3,2(P
∴过P B ,两点的直线解析式为：33-=
x y
则可设经过点A 且与BP 平行的直线解析式为：13b x y +=
且有1033b +⨯=
解之得31=b 即33+=x y
解方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧--=+=)3)(1(33
3
3x x y x y 得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==38730y x y x 或 也可设经过点C 且与BP 平行的直线解析式为：23b x y +=
且有2330b +=解之得332-=b 即333-=
x y
解方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧--=-=)3)(1(33
3
33x x y x y 得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==3403y x y x 或 ∴)3,4(),0,3(),38,7(),3,0(Q
4．如图，在直角坐标系中，
以点A 为圆心，
以x 轴相交于点B C ，，
与y 轴相交于点D E ，．
（1）若抛物线2
13
y x bx c =++经过C D ，两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物线上．
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得PBD △的周长最小．
（3）设Q 为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1
）
OA =∵
AB AC ==
(B ∴
，C 又在Rt AOD △
中，AD =
OA =
3OD =
=∴, D ∴的坐标为(03)-，
又D C ，两点在抛物线上，
2
3103c c =-⎧⎪⎨++=⎪⎩g ∴
解得3
b c ⎧
=⎪
⎨⎪=-⎩ ∴
抛物线的解析式为：2133y x x =
-
当x =0y =, ∴
点(B 在抛物线上 （2
）2133y x x =
-
∵21
(43x =- ∴
抛物线21333
y x x =
--
的对称轴方程为x = 在抛物线的对称轴上存在点P ，使PBD △的周长最小．
BD ∵的长为定值 ∴要使PBD △周长最小只需PB PD +最小． 连结DC ，则DC 与对称轴的交点即为使PBD △周长最小的点． 设直线DC 的解析式为y mx n =+．
由30n n =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩
得3
m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩
, ∴直线DC
的解析式为33y x =-
由33
y x x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
得2x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 故点P
的坐标为2)- （3
）存在，设)Q t
为抛物线对称轴x =
M 在抛物线上要使四边形
BCQM 为平行四边形，则BC QM ∥且BC QM =，点M 在对称轴的左侧．
于是，过点Q 作直线L BC ∥与抛物线交于点()m M x t ， 由BC QM =
得QM =
从而m x =-12t =
故在抛物线上存在点(M ，使得四边形BCQM 为平行四边形．。