高等数学教学有限与无限过程的划分
[摘要] 高等数学教学中有限与无限量的变化规律及有联系又有区别,在教学中要时刻注意区分,这样才不致于出现把有限量的法则,规律用于无限量.
[关键词] 教学;有限;无限;区分.
高等数学是由极限的思想和理论产生发展起来的,并以极限为工具刻划了微分和积分以及无穷级数等无限过程的概念.通过有限到无限变化过程的描述,把直与曲,方与圆,变与不变等矛盾从代数与几何的双重角度分析,归纳使之化为辩证的统一.那么有限与无限过程是如何演变的,在教学中又如何区分呢,下面举例说明.
一. 圆的面积.
三国时代我国著名数学家刘徽创造了”割圆术”,从而解决了求圆面积的问题他首
先做圆内接正六边形 ,再做正12边形,正24边形……一直做下去,虽然边数越来越多,但是无论是正几边形,哪怕是成千上万边形,它都不是圆,仍然是正多边形,只有当边数无限增大时,这个无限就成为转折点把有限过程转化为无限过程,从而发生了质的变化,直边演变成了曲边,内接正多边形演变成了圆,从而得到正多边形面积当边数无限增大时的极限就是圆的面积.这个过程经过了若干年,这样随着圆面积的求法产生了极限的概念,这是无限过程的硕果,这个发明充分的体现出人类无限的想象力和非凡的创造力.经过极限这个无限过程,使正多边形发生了质的变化,演变成一个圆.使几何上直线与曲线得到辩证统一.其实在解析几何里直线本来就是曲线的特例,化直为曲这是无限过程的非凡作用.是有限过程做不到的.同时以直代曲也是重要的数学思想.有限到无限是数学发展的一个飞跃.标志着数学发展到一个高级阶段.
二. 有限集,无限集.
我们每个人都知道整体大于部分这个事实,但在集合论中整体大于部分这条古老的公理却发生了矛盾.众所周知当两个集合的元素有一一对应关系时,其元素个数相等,比如集合A={1,2,3,4}和B={}4,3,2,12222它们可建立一一对应关系,所以它们的元素个数相等.但是对于自然数集N={1,2,3,4…}和其平方数集M={...}4,3,2,12222就不那么简单了,显然M 是N 的部分元素构成的集合,比如2N ∈但2M ∉,然而N 与M 两个集合的元素也可建立一一对应关系,因此它们的元素个数应该相等.这使我们很难理解,整体既然大于部分,它怎么又等于部分呢?这是否具有普遍性呢?经过分析,在有限集中整体总大于部分,看来是无限集惹得祸,确实在无限集中整体大于部分就失灵了,我们不能简单的说两个无限集的元素谁多谁少.这个事实提醒我们在教学中有限集和无限集的理论不能混为一谈,有限集的有些理论,法则,公理不能直接用到无限集.
三. 定积分的概念
我们知道定积分⎰b
a
dx x f )(是一个积和式的极限.由于
=⎰b a dx x f )(i
n i i x f ∆∑=→)(1
0lim ξλ,所以定积分可理解为无限多个无穷小的代数和,
这个无限项代数和与有限项代数和有什么区别和联系呢,关于有限项的和对我们来说并不陌生,比如在极限里学过有限多个无穷小的代数和为无穷小,在微分里,有限个函数代数和的导数等于函数导数的代数和,在积分里,有限个函数代数和的积分等于函数积分的代数和等等,都特别强调了有限项.对于定积分来说它是无限项的和,能否沿用有限项和的性质与法则呢?如果用有限个无穷小的代数和为无穷小的性质,定积分是无穷小和的极限其值为零,这显然是错误的.否则就没有必要研究定积分的计算了,通过对定积分的研究发现其值可能是常数也可能不存在,这就是说有限项和与无限项和是有区别的,对于有限项代数和的法规,性质等 ,不能直接用到无限项上去,这说明有限项与无限项和的法则不通用,这也是我们在讲极限,微分,积分运算法则时强调有限项的必要性.要时刻注意区分有限与无限这两个概念不能混淆.
四. 无穷级数的和
众所周知有限项的代数和满足交换律,结合律在我们头脑中以是根深蒂固,但 对于无限项和是否满足交换律和结合律呢,我们还是以实例来说明吧,例如无穷级 数X=1-1+1-1+1-…求和时.
由于(a) X=1-1+1-1+…=(1-1)+(1-1)+…=0+0+…=0.所以X=0.
(b)X=1-1+1-1+1-…=1-(1-1)-(1-1)-…=1-0-0-…=1.所以X=1.
(c)X=1-1+1-1+1…=1-(1-1+1-1+1…)=1-X. 2X=1.所以X=2
1 综上所述0=2
1=1.两端同乘以任何数得,0=任何数.这显然是不正确的,错误的原因是什么呢,我们很难发现,那么也只能归结为无限项和的原因,分析上述三种算法都用到了加法的结合律,而对于无穷级数来说不一定满足加法结合律.其实该级数是发散的.对于上述错误都是由于把加法的结合律搬到了无限项和上去,因此区分有限与无限项的和就显得非常重要.加法的结合律只是满足有限项的和,当我们把加法的项数推广到无限项的时候,同时失去了加法结合律.在进行代数和运算时要特别加以重视,不然我们就会犯类似错误.
五. 无穷大的运算
我们学过两个无穷小的比较,有高阶,低阶,同阶和等价之分.对于
无穷
大其实我们也可用无穷小阶的定义方法,用其商的极限进行比较,来定义无穷大的阶数,但对于两无穷大的代数和是什么,又如何进行运算呢?由于无穷大不是具体的数它描述的是变量的一个无限变化趋势是不确定的,因此两无穷大的和也不确定,特别是∞-∞它可能是无穷大也可能不是,但是它不一定是零,因为两无穷大的变化速度不一定相同,因此无穷大的代数和的运算,只能用极限方法先变形在计算,因此我们在遇到无穷大的运算时要给予足够的重视它不是具体数而是一变化过程,因此不能代数运算法则进行运算.
总之在进行高等数学教学中,要时刻注意变量的有限与无限的变化过程,要注意它们及有区别又有联系和它们对立的统一,有的量经过无限变化过程可以发生质的变化.使原来的面目全非,而有限量的运算规律不一定适合无限量,特别是我
们熟悉的四则运算有限项适用对无限项就不一定适用,然而无限过程又是由有限过程演变,抽象而来.就是这种从特殊到一般,从具体到抽象的变化过程把我们认为可以推广的理论确不能推广,表面上看可以归纳猜想的理论却是错误的,就是因为无限变化过程与有限变化过程存在着本质区别.如果我们准确的理解掌握并时刻注意有限与无限过程的联系与区别,那么高等数学中变量的无限的变化规律就在我们掌握之中,使有限与无限产生的矛盾得到解决,成为一个辩证的统一体.
[参考文献]
[1]同济大学数学教研室主编[高等数学]
[2]王庚著[数学文化与数学教育]。