(2)电路谐振时, UL和UC为何值。
图12－18
解：(l)电压源的角频率应为
0
1 LC
1
rad/s 10 6 rad/s
10 4 10 8
(2)电路的品质因数为
Q 0 L 100
R
则
UL UC QU S 100 10V 1000 V
二、RLC并联谐振电路
即阻抗呈现纯电阻，达到最小值。若在端口上外加电
压源，则电路谐振时的电流为
I U S U S ZR
(12 31)
电流达到最大值，且与电压源电压同相。此时电阻、
电感和电容上的电压分别为
U R RI US (8 32)
U L

j0 LI

j
0L
R
U
S

jQU S
压和电流的正弦振荡。其情况和 LC并联电路由初始储能 引起的等幅振荡相同，因此振荡角频率也是ω 0 1 ，与
LC
串联谐振电路相同。
图12－21 并联电路谐振时的能量交换
谐振时电感和电容的总能量保持常量，即
W
WL
WC

LI
2 L

CU
2 C
CR2IS2
(12 48)
谐振时电感和电容的总能量保持常量，即
§12－3 谐振电路
含有电感、电容和电阻元件的单口网络，在 某些工作频率上，出现端口电压和电流波形相位 相同的情况时，称电路发生谐振。能发生谐振的 电路，称为谐振电路。谐振电路在电子和通信工 程中得到广泛应用。本节讨论最基本的RLC串联 和并联谐振电路谐振时的特性。
一、RLC串联谐振电路
图12－15(a)表示RLC串联谐振电路，图12－15(b)是它 的相量模型，由此求出驱动点阻抗为
Y ( j) jC 1 R jL

R2
R
(L)2

jC


R2
L (L)2

图12－22
Y ( j)

R2
R
(L)2

jC


R2
L (L)2

令上式虚部为零 C L 0 R 2 (L)2
求得
0
1 LC

1 U
j0 L


j
R
0L
IS

jQIS
IC j0CU j0 RCIS jQIS
(12 43) (12 44) (12 45)
其中
Q

R
0L

R 0 C

R
C L
(12 46)
称为RLC并联谐振电路的品质因数，其量值等于谐振 时感纳或容纳与电导之比。电路谐振时的相量图如图1220(b)所示。
相当于短路？哪些单口相当于开路？
图12-3-3
图 12-19(a) 所 示 RLC 并 联 电 路 ， 其 相 量 模 型 如 图 1219(b)所示。
图12－19
驱动点导纳为
Y
(
j )

I U
G j(C 1 ) | Y ( j) | () L
其中
(12 38)
| Y ( j) | G 2 (C 1 )2 L
uC (t) uL (t) QUSm cos(0t 90 )
电感和电容吸收的功率分别为：
pL (t) QUSm Im cos(0t) cos(0t 90 ) QUSI sin(20t) pC (t) pL (t) QUSI sin(20t)
由于 u(t)=uL(t)+uC(t)=0 (相当于虚短路)，任何时刻进 入电感和电容的总瞬时功率为零，即pL(t)+pC(t)=0。电感和 电容与电压源和电阻之间没有能量交换。电压源发出的功 率全部为电阻吸收，即pS(t)=pR(t)。
W
WL
WC

LI
2 L

CU
2 C
CR2IS2
(12 48)
图12－21 并联电路谐振时的能量交换
由于并联电路的电压相同，即UL=UC=RIS。当电阻R
增加到2倍，或电容 C 增加到4倍( Q R C 增加一倍)时，
L
总储能增加到4倍，将导致电流IL= IC增加一倍。若电感减
小到原值的l/4(Q增加一倍)，总能量
R
R(1 Q2 )
当0L>>R 时
Z ( jω 0 )
(ω 0L)2 R
(106
10 4 )2 10k
思考与练习
12-3-l 欲提高串联谐振电路的 Q值，应如何改变 R、L和 C?
12-3-2 欲提高并联谐振电路的 Q值，应如何改变 R、L和 C?
12-3-3 电路如图12-3-3所示。若 ω 1 ，问哪些单口 LC
当 ωL ωC1 0 ，即 ω
1 时，()=0,
LC
|Z(j)|=R,电压u(t)与电流i(t)相位相同，电路发生谐振。
也就是说，RLC串联电路的谐振条件为
0
1 LC
(12 27)
式中 ω 0＝ 1 称为电路的固有谐振角频率。
LC
当电路激励信号的频率与谐振频率相同时，电路发生 谐振。用频率表示的谐振条件为
能量在电感和电容间的这种往复交换，形成电压和电
流的正弦振荡，这种情况与 LC串联电路由初始储能引起
的等幅振荡相同(见第九章二阶电路分析)。其振荡角频率
ω 0＝
1 LC
，完全由电路参数L和C来确定。
谐振时电感和电容中总能量保持常量，并等于电感中
的最大磁场能量，或等于电容中的最大电场能量，即
W
WL
设电流源电流iS(t)=Ismcos(0t)，则：
u(t) Um cos(0t) RISm cos(0t) iL (t) QISm cos(0t 90 ) iC (t) QISm cos(0t 90 ) 电感和电容吸收的瞬时功率分别为：
pL (t) QUmISm cos0t cos(0t 90 ) QUIS sin(20t) pC (t) pL (t) QUIS sin(20t)
图12－15
Z
(
j )

U I
R j(L 1 ) | Z ( j) | () C
其中
(12 24)
| Z ( j) | R2 (L 1 )2 C
L 1 () arctan( C )
R
(12 25) (12 26)
1. 谐振条件
l/4( Q增加一倍)， W CU总C2 能量不变，而电压UL= UC增
加一倍。总之， R、L和 C的改变造成
Q 1 L变化的倍
RC
数与UL= UC变化的倍数相同。
例12-7 电路如图12-18所示。已知 uS (t) 10 2 cosωt V
求: (l) 频率为何值时，电路发生谐振。
U L U C QU S QU R
(12 36)
若Q>>1,则UL=UC>>US=UR，这种串联电路的谐振称为
电压谐振。
3.谐振时的功率和能量
设电压源电压为uS(t)=Usmcos(0t)，则：
i(t)

Im
cos(0t)

U Sm R
cos(0t)
uL (t) QUSm cos(0t 90 )
图12—17串联电路谐振时的能量交换
电感和电容之间互相交换能量，其过程如下:当电流减 小时，电感中磁场能量WL=0.5Li2减小，所放出的能量全部 被电容吸收，并转换为电场能量，如图12-17(a)所示。当电 流增加时，电容电压减小，电容中电场能量WC=0.5Cu2减 小，所放出的能量全部被电感吸收，并转换为磁场能量， 如图12－17(b)所示。
图12－20
由以上各式和相量图可见，谐振时电阻电流与电流源 电流相等 IR IS 。电感电流与电容电流之和为零，
即 IL IC 0 。电感电流或电容电流的幅度为电流源电 流或电阻电流的Q倍，即
I L IC QI S QI R
并联谐振又称为电流谐振。
(8 47)
3.谐振时的功率和能量
CR 2 1
L
1 LC
1 1
Q2
其中 Q 1 L 是RLC串联电路的品质因数。
RC
当Q >>1时, ω 0 1
LC
代入数值得到
0
1 104 108
1 108 rad/s 106 rad/s 104
谐振时的阻抗
Z
(
j 0
)

Y
(
1
j0
)
R (0 L)2
WC

CU
2 C

LI
2 L

L U S R
2
(12 37)
可以从能量的角度来说明电路参数 R、L、C变化对电
感和电容电压UL= UC的影响。若电阻 R减小一半，或电感
L增加到4倍( Q 1
R
L C
增加一倍)，则总能量
W

LU
2 S
/
R 2增
加到4倍，这将造成电压UL=UC增加一倍。若电容 C减少到
f

f0

2
1 LC
(12 28)
RLC串联电路在谐振时的感抗和容抗在量值上相等，
其值称为谐振电路的特性阻抗，用表示，即


0L

1
0C