x
(0)
解（1）由原始数据列计算一次累加序列 结果见表7.3. 表7.3 一次累加数据
年份 1999 2000 2001 2002
x
(1)
2003
序号
(0)
1
2
3
4
5
x
2.874 2.874
3.278 6.152
3.337 9.489
3.390 12.879
3.679 16.558
x
(1)
（2）建立矩阵：
x (5) x (5) x (4) 34 27 7，
(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)
x (4) x (4) x (3) 27 17 10，
(1) (1)
x (3) x (3) x (2) 17 9 8，
(1) (1)
( 0) (1) ì ï x (2) + ax (2) = u , ï ï ï ( 0) (1) ï x (3) + ax (3) = u , ï 于是，由式（7.3）有 ï í ï .............................. ï ï ï ( 0) (1) ï x (N ) + ax (N ) = u . ï ï î
(0)
1 1 a . 1 u 1 ( x (2), x (3),
(0) (0)
, x ( N )) .
(0)
这里，T表示转置.令
(1) (1) 1 1 2 [ x (2) x (1)] 1 (1) (1) a [ x (3) x (2)] 1 2 , U , u 1 (1) (1) 2 [ x ( N ) x ( N 1)] 1
把
ax (i)
(1)
项移到右边，并写成向量的数量积形式
(0) a (1) x (2) [ x (2), 1] u a (0) (1) x (3) [ x (3), 1] u (0) a (1) x ( N ) [ x ( N ), 1] u
售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要求 作精度检验。
【例】 表7.2列出了某公司1999—2003年逐年的销
售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要求
作精度检验。 表7.2 年份 序号 1999 1 2.874 逐年销售额（百万元） 2000 2 3.278 2001 3 3.337 2002 4 3.390 2003 5 3.679
x ，x
(0)
(1)
分别做成图7.1，图7.2.
可见图7.1上的曲线有明显的摆动，图7.2呈现逐渐
递增的形式，说明原始数据的起伏已显著弱化.可以
x (1) . 设想用一条指数曲线乃至一条直线来逼近累加生成
数列
x
(1)
图7.1
图7.2
为了把累加数据列还原为原始数列，需进行后减运算
或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中
(1)
(1)
(1)
分别代入方程(7.3), 用差分代替微分，又因等间隔取样，
t (t 1) t 1,
(1) x 故得： (2) x(1) (2) x(1) (2) x(1) (1) x(0) (2), t
(1) x (1) (3) x (N ) (0) x (3),..., x (0) ( N ). 类似地有 t t
3.精度检验
(1)残差检验：分别计算
（3）预测精度等级对照表，见表7.1.
由于模型是基于一阶常微分方程（7.3）建立的，故 称为一阶一元灰色模型，记为GM(1,1).须指出的 是， 建模时先要作一次累加，因此要求原始数据 均为非负数.否则，累加时会正负抵消，达不到使 数据序列随时间递增的目的.如果实际问题的原始 数据列出现负数，可对原始数据列进行“数据整 体提升”处理.
1 2 (1)
(0) (0) (0) (0) (0) (0) (0)
x (4) x (1) x (2) x (3) x (4) 6 3+8+10 27， x (5) x (1) x (2) x (3) x (4) x (5) 6 3+8+10+7 34.
则(7.6)式的矩阵形式为
y BU
方程组(7.6)’，用最小二乘法估计为
(7.6)＇
ˆ a ˆ U ( BT B) 1 BT y ˆ u
(7.7)
把估计值
(1)
ˆ与u ˆ a
代入（7.4）式得时间响应方程
(7.8)
(1) ˆ x (k 1)
ˆ ak ˆ u u (1) ˆ ˆ (k 1) x (1) e x ˆ ˆ a a
灰色系统理论的研究与应用
灰色系统理论的研究对象 “部分信息已知，部分信息未知”的“小样本、 贫信息”不确定性系统。 灰色系统理论的研究内容 灰哲学、灰哲学、灰生成、灰分析、灰建模、灰预 测、灰决策、灰控制、灰评估、灰数学等。 灰色系统理论的应用领域 农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业 工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科 学、控制科学等。
(0) (0) (0) (0) (0)
于是得到一个新数据序列
x(1) {6, 9, 17, 27, 34}
{ x ( j ) i 1, 2 归纳上面的式子可写为 x （i）
(1) (0) j 1
i
, N}
称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生 成，简称为一次累加生成.显然有 x(1) (1) x(0) (1). 将上述例子中的
(1)
对等间隔取样的离散值 （注意到
(1) (1)
t0 1
）则为
u ak u x (k 1) [ x (1) ]e . a a
估计常数a与u.
(7.4)
灰色建模的途径是一次累加序列（7.2）通过最小二乘法来
因 x (1) 留作初值用，故将
(1)
x (2), x (3),..., x ( N )
x (1) 由于 涉及到累加列 t
(7.5)
x
(1) 的两个时刻的值，因此，
x (i)
(1)
取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将 x
(i )
(i)
替换为
1 (i ) (i ) [ x (i ) x (i 1)], (i 2,3,..., N ). 2
将（7.5）写为矩阵表达式
(1) (1) (0) 1 (1) (1) 1 [ x (2) x x (2) x (2) 2 [ x (2) x2 (1)] 1 (1)] 1 (1) 1 (1) (1) (0) (0) (1) [ x (3) x (2)] x (3) [ x (3) x (2)] 1 x (3) a 2 2 . 1 u (0) 1 (1) (1) (1) 1)] 1 (1) (0) 1 (N x (N ) x x (N ) 2 [) [ x ( N ) x ( N 1)] x ( N 2 y ( x(0) (2), x(0) (3), , x(0) ( N ))T .
x (2) x (2) x (1) 9 6 3，
(1) (1)
x (1) x (1) x (0) 6 0 6.
(1) (1)
归纳上面的式子得到如下结果：一次后减
x (i) x (i) x (i 1) x (i)
(1) (1) (1) ( 0)
当k 1, 2,
, N 1时， 由(7.8)式算得的
(1) ˆ 是拟合值； 当k N时， x (k 1) 为预报值.这是
相对于一次累加序列 x (1) 的拟合值，用后减运算还原，
当k 1, 2,
(0) 就可得原始序列 的拟合值 , N 1时， x
(0) 可得原始序列 x ( 0 ) 预报值. ˆ x (k 1)； 当k N时，
灰色系统的模型
通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解 到，有了一个时间数据序列后，如何建立一个基 于模型的灰色预测。 1. 数据的预处理 首先我们从一个简单例子来考察问题. 【例】 设原始数据序列
x {x (1), x (2), , x ( N ) } {6, 3, 8, 10, 7}
不确定性方法的比较
概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性 系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性。 模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对象具有“内 涵明确，外延不明确”的特点问题，主要是凭经验借助于隶 属函数进行处理。例：年轻人 概率统计研究的是“随机不确定”现象，着重于考察“随机不 确定”现象的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结果 之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。其 出发点是大样本，并要求对象服从某种典型分布。 灰色系统理论着重研究“小样本”、“贫信息”不确定性问题， 并依据信息覆盖，通过序列算子的作用探索事物运动的现实 规律。其特点是“少数据建模”，着重研究“外延明确，内 涵不明确”的对象。例如：总人口控制在15亿到16亿之间。
( 0) ( 0) ( 0) ( 0)
对数据累加
x (1) x (1) 6，
(1) (1) (1) (1) (1) (0)
x (2) x (1) x (2) 6 3 9，
(0) (0)
x (3) x (1) x (2) x (3) 6 3+8 17，
其中