第4章 气体动理论基础4-1为什么说系统分子数太少时，不能谈论压强与温度？答：对少数几个分子而言不能构成热力学系统，分子间确实频繁碰撞，分子速率不满足统计规律，无论是从压强和温度的定义上来讲，还是从压强与温度公式的推导来看，都不满足谈论压强和温度的条件。

4-2已知温度为27℃的气体作用于器壁上的压强为pa 105，求此气体内单位体积里的分子数。

解：由 nkT P =，有 2523510415.23001038.1101⨯=⨯⨯⨯==-kT P n ]m [3-4-3一个温度为17℃、容积33m 102.11-⨯的真空系统已抽到其真空度为pa 1033.13-⨯。

为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使吸附于器壁的气体分子也释放出来。

烘烤后容器内压强为pa 33.1,问器壁原来吸附了多少个分子?解：(1)当17=t ℃K 290=: 172331032.32901038.11033.1⨯=⨯⨯⨯==--kT P n ]m [3- 143171072.31052.111032.3⨯=⨯⨯⨯==-nV N(1)当300=t ℃K 573=: 2010682.1'''⨯==kT P n ]m [3- 1810884.1''⨯==V n N181088.1'⨯=-=∆N N N4-4 比较平衡态下分子的平均平动动能、平均动能、平均能量哪个最大？哪个最小？答：平均动能=平均平动动能+平均转动动能>平均平动动能平均能量=平均动能+平均势能>平均动能4-5 指出下列各式的物理意义：(1)kT 23; (2) kT i 2;(3) RT 23;(4) RT i2。

答：(1)kT 23：分子平均平动动能；(2)kT i2：分子平均动能； (3) RT 23：mol 1单原子理想气体内能；(4) RT i2：mol 1多原子理想气体内能。

4-6当氮气（2N ）温度为0℃时，求：215.6510J -⨯213.7710J -⨯31.41710J ⨯（1）氮气分子的平均平动动能和平均转动动能； （2）7g 氮气气体的内能。

解：（1）平均平动动能:212311065.52731038.12323--⨯=⨯⨯⨯==kT k ε[J] 平均转动动能:212321077.32731038.12222--⨯=⨯⨯⨯==kT k ε[J](2) 7g 氮气气体的摩尔数为：41287==ν[mol] 7g 氮气气体的内能:310417.127331.841252⨯=⨯⨯⨯==RT i E ν[J]4-7某些恒星的温度达到K 108的数量级，此时原子已不存在，只有质子存在，求： （1）质子的平均动能是多少？（2）质子的方均根速率多大？(质子质量27106726.1-⨯kg)解：质子的平均动能:158231007.2101038.12323--⨯=⨯⨯⨯==kT k ε[J]质子的方均根速率: 627823210573.1106726.1101038.133⨯=⨯⨯⨯⨯==--m kT v [ms -1]4-8一容器被中间隔板分成相等体积的两半，一半装有氦气（e H ），温度K 250；另一半装有氧气（2O ），温度K 310。

两种气体的压强均为0P ，求抽去隔板后的混合气体温度和压强为多少？解：(1)计算抽去隔板后的混合气体温度据题意和理想气体状态方程有：2211002RT RT V P νν== 得：2112T Tνν=又由理想气体内能公式和题意有：RT RT RT RT E 21221125232523νννν+=+=得：4.284538211=+=T T T T [K] （2）计算抽去隔板后的混合气体压强由nkT P =计算 ，其中：)1(21100201T TV N VN N n +=-=ννν 0212100275.1)(2P T T T T T P nkT P =+==4-9将麦克斯韦速率分布公式表示成以理想气体最概然速率p v 为单位表示的形式，即令pv v a =，若已知⎰=-107468.02dx e x，试计算下列问题：（1）分子速率小于最概然速率的分子占分子总数的百分比为多少？（2）分子速率大于最概然速率的分子占分子总数的百分比为多少？解：理想气体分子数占分子总数的比率为：d N/N = f (v )d v ，其中f (v )是麦克斯韦速率分布函数：23/22()4()exp()22m mv f v v k T kTππ=-． 设x = v /v p，其中p v =d v = v p d x ， 因此速率分为d N/N = g (x )d x，其中22()e x g x x -=．（1）分子速率小于最概然速率的分子占分子总数的百分比为2112100()d e d xN g x x x x N -==⎰， 设2120ed x I x x -=⎰，则221120011e d d e 22x x I x x x --==-⎰⎰22111(e e d )2xx x x --=--⎰即 11(0.7648e )2I -=-，所以11e )N N -==-= 0.4276 = 42.76%． （2）分子速率大于最概然速率的分子占分子总数的百分比为211N NN N=-= 0.5724 = 57.24%．4-10 依据麦克斯韦速率分布律，采用近似计算，求速率在p v 99.0到p v 01.1之间的分子数占分子总数的百分比。

解：利用4-9的结果：分子数比率为1.010.09()d Ng x x N ∆=⎰，其中22()e x g x x -=． 利用中值定理得1(1)(1.010.09)0.02N g N -∆=-=⨯= 0.0166 = 1.66%．4-11 有N 个粒子，其速率分布函数为()0d d N avf N v ==v v (0v ≥v ≥0)， ()f a =v (20v ≥v ＞0v )，()0=v f (v ＞20v )(1) 作速率分布曲线并由0v 求常数a ； (2) 求粒子平均速率。

(3) 求速率大于0v 的分子数。

解：(1) 作速率分布曲线由归一化条件计算常数a ：1d d 0020=+⎰⎰v v v 0v a v v v a 得：032v a = (2) 计算粒子平均速率：2020911d d d 0000v v va v v v a v N N vv v v v 0v =+==⎰⎰⎰(3) 计算速率大于0v 的分子数：N v a N v v f N N v v v v 32d d )('022===⎰⎰f (vv004-12质量为g 102.614-⨯的微粒悬浮于27℃的液体中，观察到它的方均根速率为1s cm 4.1-⋅。

由这些结果计算阿佛加德罗常数A N 。

解：由mN RTmkTv A 332==有：233142321015.610102.6104.130031.833⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---）（m v RTN A [mol -1]4-13火星的质量为地球质量的0.108倍，半径为地球的0.531倍，火星表面的逃逸速度多大？以表面温度240K 计算，火星表面2CO 和2H 分子的方均根速率多大？以此说明火星表面的有2CO 而无2H 。

(实际上，火星表面大气中96％是2CO 。

)提示：地球表面的逃逸速度：3109.72⨯==地球地球R GM v [ m ·s -1] 解：火星表面的逃逸速度: 3100.52⨯==火星火星R GM v [ m ·s -1] 火星表面2CO 的方均根速率：2CO 21068.332⨯==m kTv [ m ·s -1] 火星表面2H 分子的方均根速率：3H 21073.132⨯==m kTv [ m ·s -1] 2H 分子的方均根速率更接近火星表面的逃逸速度，久而久之火星上的2H 逃逸殆尽。

4-14设海平面气温K 273=T ，气压Pa 10013.150⨯=p ，忽略气温随高度的变化。

求：(1)计算海拔约为m 3600的拉萨的大气压；(2) 某人在海平面处每分钟呼吸16次，则他在拉萨需呼吸多少次才能吸入等量的空气？(空气的摩尔质量为mol /k 10293g -⨯=μ)，该人仍以每分钟呼吸16次时缺氧率多少？解：（1）由气压随高度的变化公式计算海拔约为m 3600的拉萨的大气压为：5010646.0⨯==-RTgh eP P μ[ Pa]（2）设某人在海平面处每分钟呼吸次数=0N 16[ min -1]，每次呼吸的空气体积为0V ，在拉萨每分钟呼吸次数N ,每次呼吸的空气体积仍为0V ,由理想气体状态方程0000RT V N P ν= 00RT PNV ν= 00000V PN V N P = 得：2500==N PP N [ min -1]（3）该人仍以每分钟呼吸16次时缺氧率000361=-=N Nη4-15真空管的线度为m 102-，其中真空度为Pa 1033.13-⨯，设空气分子的有效直径为m 10310-⨯,空气的摩尔质量为mol /k 10293g -⨯=μ，求27℃时单位体积内的空气分子数、平均自由程和平均碰撞频率。

解：单位体积内的空气分子数：17233102.33001038.11033.1⨯≈⨯⨯⨯==--kT P n [ m -3] 平均自由程8.722==Pd kTπλ[ m]平均碰撞频率41068.4⨯==λvz [s -1] 其中4688==πμRTv [ms -1]4-16在标准状态下2CO 气体分子的平均自由程m 1029.68-⨯=λ，求两次碰撞之间的平均时间和2CO 气体分子的有效直径。

解： C 的原子量是12，O 的原子量是16，CO 2的分子量是44，摩尔质量为μ = 0.044kg ·mol -1，其平均速率为v ==·s -1]． 两次碰撞之间的平均时间为：t vλ== 1.736×10-10[s]．根据公式λ=CO 2气体分子的有效直径为d =×10-10[m]．4-17 容器贮有2O 气，其压强为Pa 10013.15⨯，温度为27℃，有效直径为m 10109.2-⨯=d ，求：（1）单位体积中的分子数n ，氧分子质量m ，气体密度ρ，分子间平均距离l ； （2）最概然速率p v ，平均速率v ，方均根速率2v ； （3）分子的平均总动能ε；（4）分子平均碰撞频率z ，分子平均自由程λ。

解：（1）由p = nkT 得单位体积中的分子数为：n = p/kT = 2.45×10-25[m -3]；氧分子的原子质量单位是32，一质量单位是u = 1.66055×10-27kg ，分子的质量为：m = 32u = 5.31×10-26[kg]；根据理想气体状态方程MpV RT μ=，氧的摩尔质量μ = 0.032 kg ·mol -1，其密度为：M p V RTμρ=== 1.30[kg ·m -3]；一个分子占有体积为v = 1/ n ，设想分子整齐排列，则分子间的平均距离为l = (1/n)1/3 = 3.445×10-9[m]．（2）最可几速率为：p v =·s -1]；平均速率为：v =·s -1]；=·s -1]． （3）分子的自由度为i = 5，平均总动能为：2ikT ε== 1.035×10-20[J]．（4）分子平均碰撞频率为：2z d nv == 4.07×109[s -1]；分子平均自由程为：λ=×10-7[m]．*4-18 如果考虑气体分子的大小和分子间的作用力，就可得到实际气体的状态方程，这就是范德瓦尔斯方程，请画出1摩尔2CO 气体在03C -和045C 时等温曲线，并与理想气体等温曲线比较，有何不同？解：依据1mol 真实气体的范德瓦尔斯方程RT b aP =-+))(v v(2,其中v 为1mol 气体的体积，118.31R J mol K --=⋅⋅为普适气体常量，a 、b 为常数，a 、b 的值与具体气体有关，如二氧化碳610.3640(Pa m mol )a -=⋅⋅，5314.26710(m mol )b --=⨯⋅，代入上式得到03C -时，270T K =,对应的范德瓦尔斯方程为520.360()(v 4.26710)8.312702244vP -+-⨯=⨯= 得到045C 时，318T K =,对应的范德瓦尔斯方程为520.360()(v 4.26710)8.313182643vP -+-⨯=⨯= 画图如下。