（0.744+0.736+0.718+0.890+0.870+0.880）/6=0.8113
由Component1、2的系数除以
3.735和
1.133
，得到：
Y1=-0.417x1-0.349x2-0.349x3+0.462x4+0.427x5+0.433x6
Y2=0.183x1+0.275x2+0.265x3+0.158x4+0.225x5+0.220x6
•这些系表示主成分和相应的原先变量的相关系数。 •相关系数(绝对值）越大，主成分对该变量的代表 性也越大。
μ ij为系数 组成的系数矩阵就是U
这个方程且满足：
2 2 μ2 μ μ k1 k2 kp 1
主成分分析
其中 μ ij
有以下原则来确定：
Yi与Y 相互无 关 j Y1是x 线 一切 线 性 组 最大的 合 1 x p的一切 Y2是x 线 一切 线 性 组 第二大的 合 1 x p的一切
因主 子成 分分 析分 析 和
主成分与因子分析
主成分与因子分析
好裁缝做上衣，要测量上体长、手臂长、
胸围等 14 个指标。用流水线生产上衣时要 测量每个顾客的 14 个指标是不可能的。 于是统计学家出了个主意：这 14 个指标 是相关的，可以找出几个反映上衣特征的综 合指标，加工出的上衣大多数人都能穿，当 然特体除外。
主成分分析
例中的的数据点是六维的；也就是说，每
个观测值是6维空间中的一个点。我们希望把 6维空间用低维空间表示。 先假定只有二维，即只有两个变量，它们 由横坐标和纵坐标所代表；因此每个观测值 都有相应于这两个坐标轴的两个坐标值；如 果这些数据形成一个椭圆形状的点阵（这在 变量的二维正态的假定下是可能的）
变量共同度的统计意义
变量Xi的共同度——因子载荷阵A 中第i行元素的平方和， 即：
2 h a ij i 1, , p 2 i j1 m
为了说明他的统计意义，将下式两边求方差，即 Xi a i1F1 +a i2 F2 + +a im Fm + i
2 2 Var（Xi）=a i1 Var（F1）+ +a im Var（Fm）+Var（ i） 2 2 2 =a i1 a i2 a im i2
h i2 i2 由于Xi已经标准化了，所以有： 1 h i2 i2
30
公因子方差表
提取出来的公因子对每个变量的解释程度
到底有多大呢？可从公因子方差表得知：
Com munali ties Initial Extraction MATH 1.000 .774 PHYS 1.000 .736 CHEM 1.000 .718 LITERAT 1.000 .890 HISTORY 1.000 .870 ENGLISH 1.000 .880 Extraction Method: Principal Component Analysis.
a Com ponent Matri x
Component 1 2 MATH -.806 .353 PHYS -.674 .531 CHEM -.675 .513 LITERAT .893 .306 HISTORY .825 .435 ENGLISH .836 .425 Extraction Method: Principal Component Analysis. a. 2 components extracted.
主成分分析和因子分析
本章就介绍两种把变量维数降低以便
于描述、理解和分析的方法：主成分分 析 （ principal component analysis ） 和因子分析（factor analysis）。实际 上主成分分析可以说是因子分析的一个 特例。在引进主成分分析之前，先看下 面的例子。
成绩数据（student.sav）
因子分析
我们如果想知道每个变量与公共因子的关
系，则就要进行因子分析了。因子分析模型 为： x1 a 11F1 a 12 F2 a 1m Fm ε 1
x 2 a 21F1 a 22 F2 a 2p FP ε x p a p1F1 a p2 F2 a pm Fm ε
但是， spss 软件中没有直接给出主成分系
数，而是给出的因子载荷，我们可将因子载 荷系数除以相应的 i ，即可得到主成分系 数。
a Com ponent Matri x
Component 1 2 MATH -.806 .353 PHYS -.674 .531 CHEM -.675 .513 LITERAT .893 .306 HISTORY .825 .435 ENGLISH .836 .425 Extraction Method: Principal Component Analysis. a. 2 components extracted.
这时称：Y1是第一主成分
Y2是第二主成分 ｜
主成分的含义
有原始数据的协方差阵或相关系数据阵，
可计算出矩阵的特征根：
1 2 p
则：1 对应Y1的方差
2 对应Y2的方差

p 对应Yp的方差
主成分的含义
1对应的特征向量： 11，12， 1 p
为第一主成分的线性组 合系数，即： y 1 11x1 12x2 1 p
• 头两个成分特征值对应的方差累积占了总方差的 81.142% ，称为累计方差贡献率为 81.142% 。后面的 特征值的贡献越来越少。 • 一般我们取累计方差贡献率达到 85%左右的前 k 个 主成分就可以了，因为它们已经代表了绝大部分的 信息 。 • Spss 中选取主成分的方法有两个：一是根据特征 根≥ 1来选取； 另一种是用户直接规定主成分的个 数来选取。
这里的 Initห้องสมุดไป่ตู้al
Eigenvalues就是这 里的六个主轴长度，又称特征值（数 据相关阵的特征值）。
主成分分析的一般模型
Y1 μ 11 x1 μ 12 x 2 μ 1p x p Y2 μ 21 x1 μ 22 x 2 μ 2p x p Yp μ p1 x1 μ p2 x 2 μ pp x p
100 个学生的数学、物理、化学、语文、历
史、英语的成绩如下表（部分）。
从本例可能提出的问题
目前的问题是，能不能把这个数据的 6个变
量用一两个综合变量来表示呢？ 这一两个综合变量包含有多少原来的信息 呢？ 能不能利用找到的综合变量来对学生排序 呢？这一类数据所涉及的问题可以推广到对 企业，对学校进行分析、排序、判别和分类 等问题。
主成分分析
正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三
个主轴一样，有几个变量，就有几个主成分。 选择越少的主成分，降维就越好。什么是 标准呢？那就是这些被选的主成分所代表的 主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分。 有些文献建议，所选的主轴总长度占所有主 轴长度之和的大约85%即可，其实，这只是一 个大体的说法；具体选几个，要看实际情况 而定。
3
主成分与因子分析
结果统计学家成功了!
这两个不相关的指标就是上衣的型和
号。 本章的教学目的就是教会学生如何建 立和使用降维模型。
4
主成分分析
每个人都会遇到有很多变量的数据。 比如全国或各个地区的带有许多经济和社
会变量的数据；各个学校的研究、教学等各 种变量的数据等等。 这些数据的共同特点是变量很多，在如此 多的变量之中，有很多是相关的。人们希望 能够找出它们的少数“代表”来对它们进行 描述。
10
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
主成分分析
那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴。
在短轴方向上，数据变化很少；在极端 的情况，短轴如果退化成一点，那只有 在长轴的方向才能够解释这些点的变化 了；这样，由二维到一维的降维就自然 完成了。
主成分分析
当坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表
长轴的变量就描述了数据的主要变化，而代 表短轴的变量就描述了数据的次要变化。 但是，坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平 行。因此，需要寻找椭圆的长短轴，并进行 变换，使得新变量和椭圆的长短轴平行。 如果长轴变量代表了数据包含的大部分信 息，就用该变量代替原先的两个变量（舍去 次要的一维），降维就完成了。 椭圆（球）的长短轴相差得越大，降维也 越有道理。
0.0
-.5
-1.0 -1.0
该图左面三个点是数学、物理、化学三科， 右边三个点是语文、历史、外语三科。
-.5 0.0 .5 1.0
C omponent 1
因子分析
因子分析是主成分分析的推广和发展。
为什么要进行因子分析？
由主成分分析的模型可知：
y1 a11 x1 a12 x2 a1 p x p y2 a21 x1 a22 x2 a2 p x p y p a p1 x1 a p 2 x2 a pp x p
对于我们的数据，SPSS输出为：
Tot al Va rianc e Exp laine d Initial Eigenvalues Component Total % of Variance Cumulative % 1 3.735 62.254 62.254 2 1.133 18.887 81.142 3 .457 7.619 88.761 4 .323 5.376 94.137 5 .199 3.320 97.457 6 .153 2.543 100.000 Extraction Method: Principal Component Analysis. Extraction Sums of Squared Loadings Total % of Variance Cumulative % 3.735 62.254 62.254 1.133 18.887 81.142