太原师范学院毕业论文（设计）等价无穷小量性质的理解、推广及应用姓名吴艳芳学号 ************年级 2012级专业数学与应用数学系（院）理学院指导教师 ******2014年3月13日等价无穷小量具有很好的性质,灵活运用这些性质,无论是在求极限的运算中,还是在正项级数的敛散性判断中,都可取到预想不到的效果,能达到罗比塔法则所不能取代的作用.通过举例,对比了不同情况下等价无穷小量的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误地应用等价无穷小量. 关键词：等价无穷小量;极限;洛必达法则;比较审敛法;优越性Equivalent Infinitesimal have good characters ,both in operation of test for Limit and determine whether the positive series converges or diverges , if these quality that apply flexibly can obtain more effect , the effection can not be replace by L'Hospital Rule. This paper give examples and compare some instance to pay attention to condition in application of Equivalent Limit , so the question can be simply and avoid error in application. Keywords:equivalent infinitesimal;limitation;l'hospital's rule;comparison test;superiority.目录1 引言 (1)2等价无穷小量的概念及其重要性质 (1)2.1等价无穷小量的概念 (1)2.2等价无穷小量的重要性质 (2)2.3等价无穷小量性质的推广 (2)3等价无穷小量的应用 (5)3.1求函数的极限 (5)3.2等价无穷小量在近似计算中的应用 (5)3.3利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限 (6)3.4等价无穷小量在判断级数收敛中的应用 (7)4等价无穷小量的优势 (8)4. 1运用等价无穷小量求函数极限的优势 (8)4. 2 等价无穷小量在求函数极限过程中的优势 (9)5结论........................................ 错误!未定义书签。

参考文献.................................... 错误!未定义书签。

致谢.. (12)1 引言等价无穷小量概念是微积分理论中最基本的概念之一,但在微积分理论中等价无穷小量的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过,其他地方似乎都未涉及到.其实,在判断广义积分、级数的敛散性,特别是在求极限的运算过程中,无穷小具有很好的性质,掌握并充分利用好它的性质,往往会使一些复杂的问题简单化,可起到事半功倍的效果,反之,则会错误百出,有时还很难判断错在什么地方.因此,有必要对等价无穷小量的性质进行深刻地认识和理解,以便恰当运用,达到简化运算的目的.2等价无穷小量的概念及其重要性质这部分在同济大学应用数学系主编的«高等数学»、华东师范大学数学系的«数学分析»、马振明老师和吕克噗老师的«微分习题类型分析»、张云霞老师的«高等数学教学»以及Song QB, Shen J Y. On illegal coping and distributing detection mechanism for digital goods [J]. Journal of Computer Research and Development中做了详细的讲解,下面是我对这部分的理解与总结.推广部分的性质在书中未做证明,根据所学的知识以及数学方法我对其进行了证明.2.1等价无穷小量的概念2.11定义若函数(包括数列)在某变化过程中以零为极限,则称该函数为这个变化过程中的无穷小量. 如函数2x, sinx, 1- cosx, ln(1+x)均为当x→0 时的无穷小量.对于数列只有一种情形, 即n→∞, 如数列{ 1n} 为n→∞时的无穷小量或称为无穷小数列.注意：1) 绝对值非常小的数不是无穷小量, 0 是唯一的是无穷小量的数; 无穷小量无限趋近于0 而又不等于0.2) 无穷小量是变量, 与它的变化过程密切相关,且在该变化过程中以零为极限.如函数1x当x→∞时的无穷小量,但当x→1时不是无穷小量.3）两个（相同类型）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.4）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.2.12无穷小量的比较1) 若存在正数K 和L,使得在某0()o U x 上有()()f x K Lg x ≤≤,则称f 与g 为当0x x →时的同阶无穷小量.特别当0()lim(0)()x x f x c c g x →=≠ 则称()f x 与()g x 是同阶无穷小. 2) 若()lim ()f xg x =1, 则称()f x 与()g x 是等价无穷小量, 记为()f x ～()g x . 3) 若()lim()f xg x = 0, 则称()f x 是()g x 高阶无穷小, 记作()f x =(())o g x . 注: 并不是任意两个无穷小均可比较, 如当x →0 时,1sin x x与2x 都是无穷小量, 但它们不能进行阶的比较.2.2等价无穷小量的重要性质设α,α′,β,β′,γ 等均为同一自变量变化过程中的无穷小,② 若α～β,β～γ,则α～γ.注意 1）需要注意的是在运用无穷小替换解题时,等价无穷小量一般只能在对积商的某一项做替换,和差的替换是不行的.2）以上性质说明我们利用无穷小量的代换性质将无穷小的等价替换推广到和与差的形式,并对的不定式极限的求解作了简化,使其适用的函数类范围扩大,从而简化函数极限的运算过程,对不定式极限的求解有很大的意义.3等价无穷小量的应用等价无穷小量的应用在冯录祥老师的«关于等价无穷小量量代换的一个注记»、王斌老师的«用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨»、华东师范大学数学系的«数学分析»、盛祥耀老师的«高等数学»、马振明老师和吕克噗老师的«微分习题类型分析»、Shivakumar N, G.Molina H. SCAM: A Copy Detection Mechanism for Digital Documents [A]. The 2nd International Conference in Theory and Practice of Digital Libraries[C]. USA Austin Texas: [s. n]以及刘玉琏老师和傅沛仁老师的«数学分析讲义»中都有详细的分析与注解,在这一部分我只是按照自己的需要从中选取内容,再加上自己筛选例题解答例题写出来的.请看下面的内容：利用等价无穷小，在做近似计算，有时可以起到意想不到的效果，如：例8 求0lim sin 3x x→ 解 解法一（等价无穷小量替换）：由于ln(1+3x)等价于3x,sin3x 等价于 3x,则,由无穷小替换定理有：0ln(13)lim sin 3x x x →+=03x lim 13x x→=. 解法二（两个重要极限）：由于1300sin 3lim ln(13)1,lim 13x x x x x x→→+==, 0ln(13)lim sin 3x x x→+=1300ln(13)ln(13)3lim lim 1sin 3sin 333x x x x x x x x x x→→++==. 解法三（洛必达法则）：0ln(13)lim sin 3x x x→+=003113lim lim 13cos3cos3(13)x x x x x x →→+==+. 由此例可以发现,很多时候求解函数极限的方法多种多样.其中包括极限的运算法则、两个重要极限、洛必达法则以及无穷小替换等等.所以我们求解一道题时要进行全方位、多角度的思考,找出最适合、最恰当的解题方法.对上例的几种不同解法进行比较,我们很容易地发现恰当利用无穷小替换能够快速、准确地求解一些函数极限.20,30x x →→,x ln(12)2,ln(13)3x x x ++等价于等价于,则由无穷小替换定理有ln(12lim ln(13)x x x →-∞++）：=2lim 3xx x →-∞=+∝.由此例看求解上述极限时,很显然利用等价无穷小量替换更简单、便捷.另外,值得注意的是对本例在使用洛必达法则计算时,如果不把23xx 写到分母上,而是继续使用洛必达法则,就会出现循环计算,将永远得不到结果.由此更能体现等价无穷小量替换的重要性.同时本例还说明不仅是在极限存在时而且在极限为无穷大时同样都可以使用等价无穷小量替换.具有局限性,只要充分地掌握好等价无穷小量的4条性质就不难求出正确的结论.结论极限计算是《微积分理论》中的一个重要内容,等价无穷小量代换又是极限运算中的一个重要的方法.利用等价无穷小量代换计算极限,主要是指在求解有关无穷小的极限问题时利用等价无穷小量的性质、定理施行的等价无穷小量替换的计算方法,通常与洛必达法则一起使用,目的是使解题步骤简化,减少运算错误.进行等价无穷小量代换的原则是整体代换或对其中的因子进行代换.即在等价无穷小量的代换中,可以分子分母同时进行代换,也可以只对分子（或分母）进行代换.当分子或分母为和式时,通常不能将和式中的某一项以等价无穷小量替换,而应将和式作为一个整体、一个因子进行代换,即必须是整体代换；当分子或分母为几个因子相乘积时,则可以只对其中某些因子进行等价无穷小量代换．简言之,只有因子才可以进行等价无穷小量替换.参考文献[ 1 ]同济大学应用数学系,主编.高等数学.第5版[M].高等教育出版社,2002,7 56～59.[ 2 ]杨文泰,等.价无穷小量代换定理的推广[J].甘肃高师学报,2005,10（2）：11～13. [ 3 ] 王斌.用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨[J].黔西南民族师专学报,2001.[ 4 ] 华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.[ 5 ] 盛祥耀. 高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1987.[ 6 ] 冯录祥. 关于等价无穷小量量代换的一个注记[J]. 伊犁师范学院学报, 2006( 3) : 25- 26.[ 7 ] 段丽凌,杨贺菊. 关于等价无穷小量替换的几点推广.[ J ]. 河北自学考试, 2007, (06).[ 8 ] 华东师范大学数学系.数学分析（上册）[ M] .（第三版）北京：高等教育出版社,2004.62.[ 9 ] 马振明,吕克噗.微分习题类型分析[ M ] .兰州：兰州大学出版社,1999.59,45-65.[10] 崔克俭,应用数学[ M ],北京：中国农业出版社,2004.[11] 张云霞. 高等数学教学[J]. 山西财政税务专科学校学报 , 2001.04.[12]任治奇 , 梅胤胜.数学分析[M]. 渝西学院学报(社会科学版) , 1998.02[13] 刘玉琏傅沛仁：数学分析讲义[M].北京：人民教育出版社,2000.[14] Song QB, Shen J Y. On illegal coping and distributing detection mechanism for digital goods [J]. Journal of Computer Research and Development , 2001, 38(1): 121- 125.[15] Shivakumar N, G.Molina H. SCAM: A Copy Detection Mechanism for Digital Documents [A]. The 2nd International Conference in Theory and Practice of Digital Libraries[C]. USA Austin Texas: [s. n], 1995: 9- 17.[16] Shivakumar N, G.Molina H. Building a Scalable and Accurate Copy Detection Mechanism [A]. The 1st ACM Conference on Digital Libraries[C]. USA BethesadaMaryland: [s. n], 1996: 34- 41.致谢走的最快的总是时间,来不及感叹,大学生活已近尾声,四年多的努力与付出,随着本次论文的完成,将要划下完美的句号.本论文设计在王广兰老师的悉心指导和严格要求下业已完成,从课题选择到具体的写作过程,论文初稿与定稿无不凝聚着王广兰老师的心血和汗水,在我的毕业设计期间,王广兰老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议,王老师一丝不苟的作风,严谨求实的态度使我深受感动,没有这样的帮助和关怀和熏陶,我不会这么顺利的完成毕业设计.在此向王广兰老师表示深深的感谢和崇高的敬意！在临近毕业之际,我还要借此机会向在这四年中给予我诸多教诲和帮助的各位老师表示由衷的谢意,感谢他们四年来的辛勤栽培.不积跬步何以至千里,各位任课老师认真负责,在他们的悉心帮助和支持下,我能够很好的掌握和运用专业知识,并在设计中得以体现,顺利完成毕业论文.同时,在论文写作过程中,我还参考了有关的书籍和论文,在这里一并向有关的作者表示谢意.我还要感谢同组的各位同学以及我的各位室友,在毕业设计的这段时间里,你们给了我很多的启发,提出了很多宝贵的意见,对于你们帮助和支持,在此我表示深深地感谢！2014年3月13日.。