简谐振动的振幅与初相角，随初始条件的不同而 改变；而振动频率和周期唯一决定于振系参数，与 初始条件无关，它们是振系的固有特征，通常称为 固有频率与固有周期。
物体偏离平衡状态后，在恢复力作用下进行的振 动，称为自由振动。
2．1简谐振动
由弹簧悬挂的物体沿铅垂方向的振动。当振 系成静平衡时，弹簧在物体重力mg的作用下将有 静伸长
K
Jபைடு நூலகம்
扭摆的动能：
T

1 2
J
•

2
扭摆的势能：
U

1 2
k
2
代入方程（2）有，
d
(1
•2
J
1
K 2 )

0
dt 2
2
化简后
• ••
•
J K 0
令
K
n
J
可得
••

2 0
n
可知其为简谐振动，
T 2 2 J
n
K
f1 1 K
T 2 J
位移表达式： Asin(
2．1简谐振动
工程中一些简单的振动有时可以简化为弹簧-质量系统的 运动问题。
光滑水平面上的小物体，质量为m，由螺旋弹簧连至定点
D沿，弹弹簧簧轴重线量取可坐以标不轴计x，，以在弹不簧受不力受时力的时长的度右为端l0，位轴置线O为成原水点平
。 ，
向右为正，假定物体只限于沿坐标轴x进行直线运动，则物体
在任一瞬时的位置都可以由坐标x完全确定。这是1自由度系统。

n
J
T 2 2 J
mgS
n
计算形状复杂的机器部件的转动惯量相当 困难。本例提供了用实验确定J的一个方法。
2.2 能量法
1、 研究的内容
讨论单自由度线性系统的自由振动，即振系在受到初始激 扰后的振动．应用牛顿运动定律，列出确定这种振动规律 的微分方程，说明其求解方法，得出位移与速度的表达式 以及频率与周期的公式．
z(从任意选定的某一基准位置量起，高出基准位
置时z为正值，反之为负值
（4）实例 铅垂圆轴，上端固定，下端装有水平圆盘，组成 扭摆。设有力矩使圆盘及圆轴下端绕铅垂轴转过 某一角度θ后突然释放，则圆盘将在水平面内进行 扭转振动．已知圆轴的扭转弹簧系数(使轴的下端 扭转1弧度所需要的力矩)为K，质量可以不计，圆 盘对转轴的转动惯量为J． 求扭摆的振动微分方 程及固有周期与频率。
Tm=Um
-----------------（3）
只要振系的自由振动是简谐振动，则由方程(3)可 以直接得出振系的固有频率，不需要列出微分方 程．
(2) 动能

平动的刚体：
T

1 m 2
2
定轴转动的刚体，对转轴的转动惯量为J, 角速度
为ω： T 1 J 2 2

平面运动的刚体，
T

2．1简谐振动
设在t=0时，物体有初位移x=x0与初速度
得
B x0 , D x0 n
x x0
即有
x x0 sin
n t x0 cos
t
n
n
解又可写为
x Asin( t ) n
A
x02 ( x0 )2 , tg 1
n
n x0 x0
s

mg k
取铅垂坐标轴x，以静平衡位置为原点
O,向下为正。在物体从静平衡位置离开x时，
弹 簧 伸 长 δs+x ， 作 用 于 物 体 的 力 等 于 k(δs+x)。物体的运动微分方程为
mx mg k( s x)
f 1 g
2 s
2．1简谐振动
例：均匀悬臂梁长为l，弯曲刚度为EI，重量不计，自由端附有重P＝mg的物 体。试写出物体的振动微分方程及固有频率。
其中A称为振幅，即振动物体离开静平衡位置的 最大距离；φ称为初相角。
由上式可的振动系统的参数： 振动周期：振动重复一次所需要的时间间隔
T 2 2 m
n
k
振动频率：在单位时间内振动的次数
f1 1 k
T 2 m
振动圆频率：
2 2f k
nT
m
2．1简谐振动
上次内容回顾：机械振动
讲述的内容
第二章 自由振动 2.1 简谐振动 2.2 能量法
第二章 自由振动
引言
1、本章研究内容
2、自由振动的求解方法
a) 根据振系的受力分析，应用牛顿运动定律，列出 确定这种振动的微分方程，说明其求解方法，得 出位移与速度的表达式，以及频率与周期的表达 式。
b)能量守恒原理：对于理想的无阻尼振系，应用能 量守恒原理，列出微分方程，或者不通过微分方 程而直接到述频率与周期的公式。
2．1简谐振动
例.可绕水平轴摆动的物体，称为复摆（物理摆），设物体质量m，对轴O的 转动惯量为J，重心G至轴O的距离为S。求复摆微幅振动微分方程及振动周 期。
解：取偏角θ为坐标，逆时针为正。复摆定轴转动微分方程
J mgS sin
圆频率和振动周期为
mgS 0
J
mgS
2．1简谐振动
设在某一瞬时t，物体位移为x，则弹簧作用于物 体的力为-kx，由牛顿运动定律有
mx kx
x 2 x 0 n
2 k nm
通解可写为 x Bsin t Dcos t
n
n
对上式求导：
•
xB
cos
tD
sin
t
n
n
n
n
其中B与D是任意常数，取决于运动的初始条件。
t )
n
•
速度表达式： A cos( t )
n
n
如果只求周期与频率，由Tm=Um
T 1 J 2 A2
m2
n
令二者相等，有
U ,
1 KA2 m2
2K nJ
作业：
弹簧不受力时，原长65厘米，下端挂上重1 公斤的物体后，弹簧长度增大到85厘米。设用手 把物体托住，使弹簧回到原来长度时，突然释放， 物体初速为零。试求物体的运动方程、振幅、周 期及弹簧力的最大值。
1 2
v m 2 c

1 2
Jc
2
式中vc表示物体质心的速度，Jc表示物体对于通过
质心且垂直于运动平面的轴的转动惯量．
(3) 势能
弹性体的势能，等于外力使弹性体产生变形过程
中所做的功弹簧伸缩x时，U

x
0 kxdx

1k 2
x2
转轴有扭转角θ时，
U

1 2
k
2
刚体的势能为： U Pz
解：摆的铅垂位置OS是静平衡位置。当摆偏离θ角时，重力的切向分量Psinθ 力图使摆回到静平衡位置。重力起着弹簧的作用。
物体的运动微分方程为
ml 2 mgl sin
g 0
l
单摆周期决定于杆长l与重力加速度g， 与摆锤重量和振幅无关。测定摆的振动周期， 就可算出当地的重力加速度。这一原理可以 用于重力探矿。
这就是应用于振系的能量守恒原理。对时间求导，
可得 d (T U ) 0 -----------------（2）
以具体dt振系的能量表达式代入上式，化简后即可
得出描述振系自由振动的微分方程．
如果取平衡位置为势能零点，在平衡位置势能为
零，动能为最大值，在振系的极端位置，其动能 为零时，势能为极大值．因此有
对理想的无阻尼振系，还应用了能量守恒原理，列出微分 方程，这种方式可以不通过微分方程而直接导出频率与周 期的公式。
2、具体分析
(1)能量法原理
在阻尼可以略去不计的条件下，振系在自由振动
时的动能与势能之和(即机械能)保持常值．令T与 U分别代表振系的动能与势能，有
T+U=常数
-----------------（1）
解：由材料力学，在物体重力作用下，梁的自由端将有静挠度
s

Pl 3 3EI
k

P
s

3EI l3
物体的运动微分方程为
固有频率为
my

3EI l3
y
f 1
2
3EI ml 3
2．1简谐振动
例.可绕水平轴转动的细长直杆，下端附有重锤(杆重不计)，组成单摆，亦称 数学摆。求摆的运动微分方程及固有周期。