筋与混凝土在法线方向的关系。有了上一小节的
坐标变换关系之后，由（2）式可以直接得到钢筋 法向位移插值方程：
∑ ui* = n riju j （i=2,3）
(5)
j =1
其中，n 为所求问题的维数，而插值系数 rij 即为
坐标转换矩阵的元素。
3 混凝土与钢筋的相互作用
若记 f * 为节点局部坐标系 x* y*z* 内混凝土
在分析钢筋与混凝土的相互作用时，所采用 的有限元模型主要有三种：分离式、组合式和整 体式[1]。采用分离式模型时，常用的联结单元有 双弹簧单元[2]、无厚度四边形粘结单元[3]、粘结 区单元[4]等。这些模型在一定程度上较好的解决 了粘结滑移问题的力学分析，但也存在一些固有 的缺点。在利用联结单元描述钢筋与混凝土的相 互作用时，一般需要确定两个参数：一个是平行 于钢筋方向的切向刚度系数 kH 和垂直于钢筋方 向的法向刚度系数 kV。kH 反映了钢筋与混凝土粘 结滑移性能，kV 反映了钢筋对混凝土间的销拴挤 压作用，到目前为止对其取值还缺乏研究[3]。一 般情况下，为了反映钢筋与混凝土的相互作用， 保证钢筋与混凝土之间法向变形协调，需要给一 个大的法向刚度系数。理论上 kV 越大越能代表真 实的情况，但过大的取值将会给计算引起麻烦和 带来计算误差，而过小的取值会发生单元相互嵌 入问题，致使结构分析模型与实际几何形态有一 定的偏差[5]。
[4] 吕西林, 金国芳, 吴晓涵. 钢筋混凝土结构非线性
有限元理论与应用[M]. 上海 : 同济大学出版社,
1996.
(c) 三级加载
[5] 戚乐磊, 赵鸿铁, 梁若筠, 等. 粘结滑移问题的界面 应力元模型[J]. 河海大学学报, 2004, 32(2): 188-191.
[6] 李同春, 李 淼, 温召旺, 等. 局部非协调网格在高
对钢筋的作用力，则由作用力与反作用力的关系
可知，在整体坐标系 xyz 内钢筋对混凝土的作用
力为 −rT f * 。可以建立混凝土和钢筋的增量有限
元平衡方程： 混凝土：
kΔu = ΔF − rTΔf *
(6)
钢筋：
k*Δu* = ΔF * + Δf *
(7)
由于节点的法向自由度已通过强迫相等的方 式保证了钢筋与混凝土之间法向变形协调，即混 凝土与钢筋之间的法向作用力已变成内力，不需
要在平衡方程中出现，则 f * 仅仅为混凝土与钢筋
之间的切向粘结力。
与文献[7]相同，本文以 Shima 的 10 号拉伸 构件[8]作为研究对象，说明本文方法的有效性。
试件为半径 R=500 mm、长度为 760 mm 的圆柱 形混凝土构件，直径 D=19 mm 的钢筋位于试件 中心。混凝土弹性模量 33 GPa，泊松比 0.167， 抗压强度 fc′ 为 21.6 MPa；钢筋弹性模量 190 GPa， 泊松比 0.23。五级加载时钢筋端部的应变值分别 为：0.786×10-3、1.471×10-3、2.286×10-3、2.886×10-3、 3.586×10-3。粘结滑移本构关系采用 Shima 提出的 将粘结应力表示为滑移量的函数与钢筋应变的函 数之乘积，其表达式为[7]：
(d) 四级加载 图 2 不同加载步钢筋应变沿构件长度分布
the Faculty of Engineering, 1987, 39(2):133-94.
Single-spring Joint Element Method for Reinforced Concrete
Bond-slip Problem
协调，梁、杆单元在局部坐标系内求解，避开了 人为选择法向刚度系数的困难，能够很方便的考 虑钢筋对混凝土的销拴效应。
1 坐标变换
为了计算方便，本文所采用的混合坐标系统
如图 1 所示，考查位于整体坐标系 xyz 内的钢筋 与混凝土的相互作用问题。 x′y′z′ 为某一个梁单 元局部坐标系，x′ 布置在梁的轴向。考虑到实际
吻合的较好，尤其在低应力水平下，计算结果与
实验结果几乎完全吻和，而随着拔拉荷载的增大，
本文方法得到的钢筋应变值在数值上比实测值要
小，但分布规律却接近。分析其原因，一方面由
于计算所采用的计算模型可能与实际有一定出
入，另一方面在高应力水平下，所采用的粘结滑
移的本构关系的适用性受到影响。图中同时还给
出了相同计算条件下双弹簧模型联结单元的计算
τ
(ε
s
,
s)
=
0.73
fc′[ln(1
+
105
s
/
D)]3
×
1
+
1 10ε
s
其中 εs 为钢筋应变，D 为钢筋直径，s 为滑移量(单
位为 mm)，τ 为粘结力(单位为 MPa)。
用本文方法计算得到的四级荷载作用下，钢
筋应变沿构件长度的分布与实测值的对比见图 2 所示。从图中可以看出，本文计算结果与实测值
deformation compatibility was ensured by letting the deformations of the normal direction degree-of-freedoms
for concrete and steel bar be identical, in this way, the difficulty of choosing the normal stiffness coefficient is
overcome.
Key words: mixed coordinate system; single-spring joint element; reinforced concrete; bond-slip
上式即为求解钢筋与混凝土粘结滑移问题的单弹 簧联结单元法有限元方程。
2 法向自由度的约束方程
4 数值算例
为了建立钢筋与混凝土在法线方向的关系，
同样需要在二者相交处设置双节点。但与双弹簧
联结单元不同的是，单弹簧联结单元不需要定义
法向弹簧，而是应用不协调位协调位移解法[6]的
思想，令双节点的法向自由度相等来直接建立钢
第25卷第4期 2008 年 12 月
华 中 科 技 大 学 学 报（城市科学版） J. of HUST.（Urban Science Edition）
Vol.25 No.4 Dec. 2008
钢筋混凝土粘结滑移问题的单弹簧联结单元法
赵兰浩，李同春，牛志伟
（河海大学 水利水电工程学院，江苏 南京 210098） 摘 要：在传统双弹簧联结单元法的基础上，提出了求解钢筋与混凝土粘结滑移问题的一种新的方法—单弹簧 联结单元法。在混凝土实体单元与钢筋梁单元的切向设置单弹簧联结单元，模拟钢筋与混凝土切向的相互作用， 通过建立二者间法向自由度约束方程的方式保证钢筋与混凝土之间法向变形协调，避开了人为选择法向刚度系 数的困难，能够很方便的考虑钢筋对混凝土的销拴效应。 关键词：混合坐标系；单弹簧联结单元；钢筋混凝土；粘结滑移 中图分类号：TV332 文献标识码：A 文章编号：1672-7037(2008)04-0147-03
结果。由于本例为轴向拉伸构件，实际上不存在
法向刚度的选择及相互嵌入问题，计算结果几乎
与本文方法的计算结果完全吻和，这也从另一个
角度验证了本文方法的正确性和有效性。
第4期
赵兰浩等：钢筋混凝土粘结滑移问题的单弹簧联结单元法
5 结语
·149·
(a) 一级加载
在双弹簧联结单元方法的基础上，提出一种 求解钢筋与混凝土粘结-滑移的分析方法—基于 混合坐标系的单弹簧联结单元法。该方法只在钢 筋切向设置单弹簧，通过建立钢筋与混凝土法向 自由度的约束方程反映二者在法向方向的相互作 用力，避开了人为选择法向刚度系数的困难，能 够很方便的考虑钢筋对混凝土的销拴效应。数值 算例的计算结果与实测值吻合的较好，说明了本 文方法的正确性和有效性。
问题中钢筋可能不在一条直线上，在每一个梁单
元节点上建立节点局部坐标系 x* y*z* ，由相邻梁
单元的局部坐标系平均得到。各个坐标系之间的
坐标转换矩阵规定如下：R 为整体坐标系 xyz 与 梁单元局部坐标系 x′y′z′ 的坐标转换矩阵；r 为 整 体 坐 标 系 xyz 与 每 个 定 点 的 局 部 坐 标 系
钢筋直径。将（8）式代入至（6）,（7）式，并
写成矩阵的形式：
⎡ ⎢ ⎣
k+ −ks
r r
T
ks
r
−r k*
T ks + ks
⎤ ⎥ ⎥⎦
⎧Δu ⎨⎩Δu*
⎫ ⎬ ⎭
=
⎧ΔF ⎨⎩ΔF
*
⎫ ⎬ ⎭
(9)
其中，k* = rkrT = rRTk′RrT ，为梁单元在节点局部
坐标系 x* y*z* 中的刚度矩阵。
参考文献
[1] 江见鲸. 钢筋混凝土结构非线性有限元分析[M]. 西
(b) 二级加载
安: 陕西科学技术出版社, 1994. [2] 董哲仁. 钢筋混凝土非线性有限元法原理与应用
[M]. 北京: 中国水利水电出版社, 2002.
[3] 沈聚敏, 王传志, 江见鲸. 钢筋混凝土有限元与板
壳极限分析[M]. 北京: 清华大学出版社, 1993.
is proposed for reinforced concrete bond-slip problems. The single spring joint element is set along the tangent
direction of solid element for concrete and beam element for steel bar to simulate the tangential interaction. The