第2章 2
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13
，则其外接圆的直径为( ) A.922
B.924
C.928
D ．9 2
解析： 设另一条边为x ，
则x 2＝22＋32－2×2×3×13
， ∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13
， 则sin θ＝223
. ∴2R ＝3sin θ＝3223
＝924
. 答案： B
2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B
＝30°，△ABC 的面积为32
，那么b 等于( ) A.1＋32 B ．1＋ 3 C.2＋32 D ．2＋ 3 解析： ∵2b ＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝32
， ∴ac ＝6.
∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac cos B －2ac .
∴b 2＝4b 2－63－12，
∴b 2＝23＋4，b ＝1＋ 3.
答案： B
3．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( )
A ．1＜a ＜3
B ．1＜a ＜ 5 C.3＜a ＜ 5 D ．不确定
解析： 若c 为最大边，
则有b 2＋a 2－c 2＝a 2－3＞0，
∴a ＞3；若a 为最大边，
则有b 2＋c 2－a 2＝5－a 2＞0，
∴a ＜5，∴3＜a ＜ 5.
答案： C
4．一梯形的两腰长分别为2和6，它的一个底角为60°，则它的另一个底角的余弦值为
( ) A.36 B.336
C ．±36
D ．±
336
解析： 如图所示，设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝60°，在
过点D 作AB 的平行线DB ′与BC 相交于B ′.
在△B ′CD 中，B ′D ＝AB ＝6，CD ＝2，∠C ＝60°，∠DB ′C ＝∠B ，
于是由正弦定理知：B ′D sin C ＝CD sin ∠DB ′C
， ∴sin ∠DB ′C ＝CD B ′D
·sin C ＝26×sin 60°＝36， ∴cos ∠DB ′C ＝1－sin 2∠DB ′C ＝
1－⎝⎛⎭⎫362＝336. ∴cos ∠B ＝
336
，故选B. 答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分) 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.
解析： 根据正弦定理的变形
a ＝2R sin A ，
b ＝2R sin B ，
c ＝2R sin C ，
故(3b －c )cos A ＝a cos C ，
等价于：(3×2R sin B －2R sin C )cos A ＝2R sin A cos C ，
整理得3sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .
又sin B ≠0，∴cos A ＝
33
. 答案： 33 6．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．
解析： 由余弦定理得
BD 2＝22＋22－2×2×2cos120°＝12.
∴BD ＝2 3.
∵BC ＝CD ＝2，∠C ＝120°，
∴∠CBD ＝30°，∴∠ABD ＝90°.
∴S 四边形＝S △ABD ＋S △BCD
＝12×4×23sin90°＋12
×2×2×sin120° ＝5 3.
答案： 5 3
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，又c ＝21，b ＝4，且BC 边上的高h ＝2 3.
(1)求角C ；
(2)求a 边的长．
解析： (1)△ABC 为锐角三角形，过A 作AD ⊥BC 于D 点，
sin C ＝234＝32
，则C ＝60° (2)又由余弦定理可知：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C
则(21)2＝42＋a 2－2×4×a ×12
，即a 2－4a －5＝0， ∴a ＝5或a ＝－1(舍)．
因此所求角C ＝60°，a 边长为5.
8.如图所示，四边形ABCD 中，已知∠A ＝120°，∠ABC ＝90°，AD ＝3，
BC ＝33，BD ＝7，求
(1)AB 的长；
(2)CD 的长．
解析： (1)在△ABC 中，设AB ＝x ，。