J
R Pj k 1
s
s
a lk ak
2 k
2
ak2
2
j pk lk
J
J
R dj s
L Pj
lk ak 2 j l 2 pk k k 1 ak lk ak
2 ak 2
2 k 1 ak lk ak
1 3 jd l l la l j a 12 k
• 假设转子模型左右端面都是自由端，则其边界条件 为 M1 0, Q1 0, M N 0, QN 0 ，于是
a1 M Q N 1 a3
该式存在非零解的条件为
a2 X a4 N A 1
2

a
a1
3
a2 a4
zi X, A, M , Q i
T
• 任一部件两端截面的状态向量总存在一定的关系， 即： zi1 T i zi • T i 即称为该部件的传递矩阵。对于质量模型，有 z2 T 1 z1
z3 T 2 z2 T 2 T 1 z1 zi T i1 zi1 T i1 T i2 T 1 z1
i i
iHale Waihona Puke i• 于是得到f u11 e u21 i 1
u12 f e i u22 i
展开可以得到
f i 1 u11i f i u12 i ei ei 1 u21i f i u22 i ei
转子动力学求解转子 临界转速与固有频率
背景
• 旋转机械在当今机械行业有着非常广泛的应用，如 水轮机、汽轮机、加工车床和机械传动轴系等。转 子是旋转机械的主要部件。旋转轴系转子存在自身 固有频率，当转子旋转频率接近或等于其固有频率 时，旋转系统会发生剧烈振动，这时的转速称为临 界转速。临界转速的求解是转子动力学中非常重要 的研究课题。
计算结果
• 其中 为第j个节点处的支撑总刚度，E为弹性模 量，I为轴段的截面矩，l为轴段长度， 为考虑剪切 6 EI 影响的系数。 2
kt GAl
• 传统传递矩阵法： Z N 1 与左端开始截面 • 转子系统右端终止截面状态向量 状态矢量 Z1 之间的关系为： Z N 1 TNTN 1 T1Z1 AN Z1
K K b mb 2 K K b mb 2
其中K为油膜刚度， 为转子的涡动角速度，Kb 是轴承座的参振 刚度，mb 是轴承座的参振质量。 • 计算中代入案例中已知的各项参数以及低速轴的正常运行时的 受载状况，无论是传统传递矩阵法还是Riccati传递矩阵法， 运用Matlab运算工具，均可以求解得到低速轴的各阶临界转速 和固有频率。
• 将各个变截面轴段所具有的质量和转动惯量都集总 到左右的两个端点位置，形成集总的刚性刚性波圆 盘。
• 对于简化后的节点j,它具有的直径转动惯量 J dj ，极 转动惯量 J pj 以及总质量 m j 的计算方法分别如下：
J dj J J Pj J
• 其中，
s
mj m m m
m
模型离散化处理
• 将转子质量及转动惯量集总到28个节点之后，模型 可以简化为
• 把低速轴分成27段之后，可以计算出每段等截面轴 的长度、质量、极转动惯量和直径转动惯量。各段 参数列表如下：
集总处理方法
• 假设两个相邻节点之间的轴段是第j个轴段，这个轴 段是由s个截面尺寸不同的等截面轴段组成的。
R j k 1
s
(d) dj (d) pj (d) j
J J J J
R dj R pj R j
L dj 1 L pj 1 L j 1

la k
lj
l l j a s k mL l k m R j j l k 1 k 1 j
u12i l m 2 K sj 2 m K sj
其中，
1 l u11i 0 1 i
J
2 J p d 0 i
u21i
l2 2 EI l EI
3 2 l3 l l 2 2 1 1 1 m K l J J sj p d 6 EI 6 EI 2 EI u22i 2 2 l l l 2 2 m K 1 J J sj p d 2 EI EI i 2 EI i
J
L dj
lk ak 1 3 2 j l l la l a j 2 d 12 k k 1 ak lk ak
s 2
• 低速轴集总后的参数列 表为：
传递矩阵法
• 对于转子中的第i个轴段，其左右两端截面的编号分 别为i与i+1，则截面i的挠度X i ，斜率 Ai ，弯矩M i 及剪力 Qi 所组成的列阵，称为该截面的状态向量zi 。即：
案例选取
• 选取一篇硕士论文《高速列车传动齿轮箱齿轮转子 动力学特性研究》中传动齿轮箱中低速轴进行研究 。
• 实际的转子是一个质量连续分布的弹性系统，具有 无穷多个自由度。在转子动力学中经常把转子简化 为具有若干个集总质量的多自由度系统。即沿轴线 把转子质量及转动惯量集总到若干个节点上，这些 节点一般选在叶轮、轴颈中心、联轴器、轴的截面 有突变处以及轴的端部等位置，并按顺序编号。
f N 1 SN 1eN 1
f1 0, e1 0, f N 1 0, eN 1 0
存在非零解的条件为
S N 1 0
这就是Riccati传递矩阵法进行求解临界转速时的系统频率方程式 。
参数计算
• 支承刚度计算： 根据高等转子动力学中计算第j个支承的总刚度为
K sj
• 引入Riccati变换，
1
fi Si ei
，得到，
1
ei u21S u22 i ei 1
可知，
fi 1 u11S u12 i u21S u22 i ei
1
Si 1 u11S u12 i u21S u22 i
对于右端截面N+1则有 由初始边界条件可知，
• 传递矩阵法是将集总了转动惯量和质量的刚性薄圆 盘和没有质量的等截面弹性轴结合起来，作为一个 组合构件来考虑，组合构件的传递矩阵为：
l3 l2 2 2 1 6 EI 1 m K sj l 2 EI J p J d l2 l 2 m K 1 J p Jd 2 sj Ti 2 EI EI l m 2 K sj J p Jd 2 2 m K sj 0 l2 2 EI l EI 1 0 l3 1 6 EI 2 l 2 EI l 1
计算方法
• 目前对临界转速的计算方法主要有：
• 传递矩阵法
先把转子分成若干段，每段左、右端四个截面参数（挠度、 挠角、弯矩和剪力）之间的关系可用该段的传递矩阵描述 。如此递推，可得系统左右两端面的截面参数间的总传递 矩阵，再由边界条件和固有振动时有非零解的条件，藉试 凑法得出各阶临界转速，并随后求得相应的振型。 • 有限元法 将连续系统分割成适当大小的单元，单元内的位移等状态量 用以节点的相应状态量为未知数的一系列函数表示，使系 统的能量之差即动能、势能之差为最小来调整节点的状态 ，从而得到相应的矩阵方程。
N
0
这是传统传递矩阵法的系统的频率方程，也就是求解临界转速的 方程式。
• Riccati传递矩阵法
• 在计算过程中引入了一个Riccati变换，可以将一开始求解 微分方程两个边界条件的问题转变为一个初始值的问题， 这种转变一方面保留了传动传递矩阵法求解过程中所具有 的优点，另一方面直接提高了传递矩阵方法计算过程中数 值的稳定性。 • 把状态矢量Z进行分组，具有0值的元素为一组,用矢量f表 示，非0值为另一组，表示为矢量e，于是状态向量简化成 为 f ，左右端面都是自由端时，弯矩和剪力为0，而 Z i 径向位移和挠角不为0，于是有 e T T i f M Q e X A