球 心 坐 标 （ 1 ,3,1）
（A 0,0,0）
C（-1，3,0）
y
R 5
（B 2,0,0） x
轴截面法
A
活学活用，开阔思维13
学习小结
三棱锥的外接球半径的常见解法:
1、补形法 2、轴截面法 3、向量法
A
14
谢谢
A
15
练习1
P
P
2
A
A
C
B
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
1
B
R= 6, V4R3 6
2
3
A
16
练习1
P
所以 R=|OP|= 6 2
A
7
方法介绍
三棱锥的外接球半径的常见解法:
1、补形法 2、轴截面法 3、向量法
A
8
练习巩固
练习1（陕西，2010）如图，在三棱锥P-ABC
中，P A 平 面 A B C , C B P B , C B A B , 且 P A 2 A B 2 B C 2 ，
专题
特殊三棱锥的外接球半径 的常见解法
主讲人：王红博
A
1
考情分析
纵观近5年全国卷和其他各 省市高考卷，对于简单多面体外 接球的考查几乎成了高考必考题 之一，其中又以对三棱锥的外接 球的考查居多。
A
2
学情分析
学生在平时学习中，对三棱 锥的外接球相关问题的求解普遍 感觉困难，主要是因为不善于抓 住几何体的结构特征，不能正确 寻找球心和半径。
求其外接球的体积。
P
法一：补形法
法二：轴截面法 法三：向量法
A
C
B
A
活学活用，开阔思维9
练习巩固
练习2 （全国卷，2010）已知三棱锥的各条棱 长均为1，求其外接球的表面积。
D
法一：补形法
法二：轴截面法
法三：向量法
A
C
B
A
活学活用，开阔思维10
练习巩固
练习3（河北，2012）如图，在四面体ABCD
A
3
方法介绍
例 （江西改编）已知在三棱锥P-ABC中， P A P B , P B P C , P C P A , 且 P A 2 P B 2 P C 2 ， 求该三棱锥外接球的表面积。 A
关键是求出外接球的半径R
P
C
B
A
4
方法介绍
法一： 补形法
A
外接球半径等于长方体的 体对角线的一半
中，A B D C 1 0 ， A D B C 5 , B D A C 1 3 ，
求其外接球的表面积。 A
A
5D
5
D
10
10
10
10
13 13 C
13
13
C
B
5
5 B
R 14, S4R214
2
A
活学活用，开阔思维11
练习巩固
练习4 如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底
面ABC，PA=AB=AC=2，∠BAC=120。，求其外
接球的半径。
z
P（0,0,2）
球 心 坐 标 （ 1 ,3,1）
（A 0,0,0）
C（-1，3,0）
y
R 5
（B 2,0,0） x
轴截面法
A
活学活用，开阔思维12
练习巩固
练习4 如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底
面ABC，PA=AB=AC=2，∠BAC=120。，求其外
接球的半径。
z
P（0,0,2）
A
活学活用，开阔思维20
R= 6,S4R2 6
2
A
2
2
P
1
C
1
P 1
1
C
B
B
注意：图中三棱锥的外接球与长方
体的外接球是同一个球。
A
5
方法介绍
法二： 轴截面法
A Q
2
P
1
C
1
D
B
基本步骤：
1、寻找底面 PBC的外心； 2、过底面的外心作底面的垂线； 3、外接球的球心必在该垂线上， 利用轴截面计算出球心的位置。
A
Q
R
2
O R= 6
R
2
P
D
2
2
A
6
方法介绍
设外接球的球心坐标为：O(x,y,z)
法三： 向量法 由 |O P | |O A | |O B | |O C |可得：
z A（0,0,2）
x2 y2 z2 x2 y2 (z2)2 x2 y2 z2 (x1)2 y2 z2
P （0,0,0） B （1,0,0） x
（0C,1,0）y解 得 x2： y2xz12 ,yx2 1,(zy11)2 z2 22
O
D
A
C
B
OA=OB=OC=OP
R=1CP 6, V4R36
22 3
A
17
练习2
D
A
D
A
C
C
B B
R= 6, S4R23
4
2
A
18
练习2 A
D D
C E
B
R
1
6
R
O
3
6 R
3
A
E
3
3
A O 2A E 2O E 2
R 6, S4R2 3
4
2
A
19
练习4
P Q
C A 2
D B
P
Q
R
2
O
R
A
2
D
R 5