第五章 参数估计
第一节、参数估计的基本概念
一、全及总体和抽样总体
1、全及总体及总体容量（N）。 2、抽样总体及样本容量（n）。
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1
大样本（n≥30） 小样本（n﹤30） 简单随机样本
随机变量 X1, X 2,, X n 随机变量观察值 x1, x2,, xn
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2
T X ～ tn 1
S
n
3、
n 1S 2 ～ 2 n 1
2
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20
自由度的确定：
x
1 n
n i 1
xi
S 2 1 n
n 1 i1
xi x 2
确定
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21
（三）中心极限定理
定理5.4：对于大样本 X1, X 2,, X n , n 30 来 说，有：
2
ˆ1
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1
2
ˆ2
31
区间估计示意图2（57）
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32
区间估计的步骤：
1、明确被估计的参数和事先确定置信水平。 2、根据问题的要求，构造相应的概率事件。 3、进行转化处理，并找出估计量及其分布。 4、利用估计量的分布求出置信区间。
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33
二、总体均值的区间估计
例如，有一总体{3，5，7}，从中随机重复抽
取2个单位，则样本{
X
i 1
,
X
i 2
}可取值：
{3，3}、{3，5}、{5，3}、{3，7}、{7，3}、
{5，5}、{5，7}、{7，5}、{7，7}。
其中{ x1i ，x2i }——观测值。
其均值分别为：3、4、5、6、7。
其相应出现的概率 pX 分别为：
（一）大数定律
定理5.1（切比雪夫大数定理）：
lim n
P
1 n
n
i 1
Xi
1
定理5.2（贝努里大数定理）：
lim n
P
m n
p
1
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19
（二）抽样分布定理
定理5.3：若
有：
X1, X 2,, X n ，且 X i ～
N
, 2
，则
1、
X
～
N
,
2
n
或
ห้องสมุดไป่ตู้
Z
X
～
N 0,1
n
2、
X
～
N
,
2
n
而无论方差是否已知。
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第三节 点估计
一、估计量的概念
ˆX1, X 2, X n
二、评价估计量的标准
（一）无偏性：
Ex
（二）有效性：
（3）
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23
（三）一致性：
lim n
P
1 n
n
Xi
i 1
1
n
Xi
用 X i1 n
估计总体均值
n
X
i
1／9、2／9、3／9、2／9、1／9。
而总体的均值为：5。
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（5）（7）（8）(19)（23）(27)
3
二、总体指标和样本指标
1、总体指标（全及指标、总体参数）
总体均值
总体方差 2
总体成数 P
N
Xi
P i1 X N
1，当 Xi 具有某种性质 时
Xi
0，当 Xi 不具有某种性质时
6
第二节、统计量与抽样分布
一、统计量
统计量 统计量的值
X
1 n
n i 1
Xi
1 n
X n i1 xi
S 2 1 n n 1 i1
Xi X
2
S 2 1 n
n 1 i1
xi x 2
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（3）
7
二、抽样分布（3）
（一）正态分布中 X 的分布
定理：从平均值为 、方差为 2的正
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4
2、样本指标（抽样指标）
（3）
n
xi
x i1 n
n
xi
p i1 x n
n
xi x 2
S 2 i1 n 1
1，当 xi 具有某种性质时
xi
0，当 xi 不具有某种性质时
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5
三、重复抽样和不重复抽样
1、重复抽样。 2、不重复抽样。
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X
2
用 S 2 i1
估计总体方差 2
n 1
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第四节 区间估计
一、区间估计的基本问题
区间估计是通过样本来估计总体参数可
能位于的区间。
（10）
n
xi
x i1 n
n
xi x 2
S 2 i1 n 1
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25
区间估计：
(10)
ˆ1x1, x2,xn ˆ2 x1, x2,xn
2
x0
10
（二） 2分布
定理：设 X1, X 2,, X n 是独立同分布
随机变量，且 Xi ～ N 0,1 ，则随机变量
2
X
2 1
X
2 2
X
2 n
～
2n
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11
设 2 的分布密度为 f (t) ，则对 2 n 0 有：
P 2 2 n
f t dt
2 n
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p ˆ1 ˆ2 1
置信概率（置信水平）1 置信区间 [ˆ1,ˆ2 ]
置信上限 置信下限 显著水平
ˆ2
p ˆ1 ˆ2 f xdx 1 ˆ1
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附录：
抽样平均误差和抽样极限误差
抽样平均误差：一系列抽样指标的标准
差 。
ˆ
ˆ ， 称为抽样极限误差
(3)
态总体中抽取容量为n的一个样本，则随机 变量
X
Xi n
～
N
,
2
n
或
X ～ N0,1
/ n
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8
即，对某 x0 有：
X P( x0 )
n
1
x0
e
t2 2
dt
2
1
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9
标准正态分布分布示意图： (25)(26)
P(1
X
2 )
1
n
P(
X
x0 )
1
n
1
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Pt t n
f tdt
t n
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15
t分布示意图：
Pt t n
t n
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16
（三）F分布
定理：若 X ～ 2n ，Y ～ 2m，且 X
与 Y 相互独立，则：
X
F Y n ～ Fn, m
m
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17
F分布示意图：
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18
三、与抽样分布有关的几个定理(3)
12
2 分布示意图：
P 2 2 n
2 n
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13
（三）t分布
定理：若 X ～ N0,1 ， Y ～ 2 n ，并
且 X 与 Y 相互独立，则随机变量
t X ～ tn
Y n
自由度：可以自由取值的随机变量的个数。
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14
设 t 的分布密度为 f (t) ，则对某 t n 有：
影响统计量的分布的因素：总体分 布的类型是否已知、样本容量的大小、 总体方差是否已知。
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27
p ˆ 1
ˆ ˆ ˆ
p ˆ ˆ 1
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(31)(61)(62)
28
t ，t
称t为概率度
ˆ t
ˆ
t
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29
从而
p
ˆ
t 1
p
ˆ
t
1
2
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30
区间估计示意图1(28)（37）（40）