数学解题之一题多解与多题一解[1]摘要本文意在明确一题多解和多题一解与学生思维能力发展之间的关系，从而使教师在数学解题教学过程中更加重视解题方法对学生思维能力的培养。
本文通过两种典型例题即一题多解型和多题一解型的讲解，阐述了通过不同的例题可以达到对学生思维能力的训练培养的目的。
通过一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；通过多题一解，能够加深学生的思维深度，分析事物时学会由表及里，抓住事物的本质，找出事物间内在的联系。
与此同时，对一题多解和多题一解的运用，要注意相互结合，灵活运用，不可只求一技，失之偏颇。
关键词：一题多解多题一解思维能力数学解题过程中一题多解与多题一解对学生思维能力的培养引言现代心理学认为，数学是人类思维的体操，在培养人的聪明才智方面起着巨大的作用。
所以，数学教学实质上是数学思维活动的教学。
也就是说，在数学教学中，除了要使学生掌握基础知识、基本技能外，还要注意培养学生的思维能力。
培养学生的思维能力是新课程改革的基本理念，也是数学教育的基本目标之一。
“学生在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概况、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。
这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和做出判断。
” 数学思维能力对形成理性思维有着独特的作用。
因此，作为一名数学教师，应把培养学生的思维能力贯穿在教学的全过程。
惠州市惠州区广播电视大学舒芳教授在《在数学解题教学中培养学生的思维能力》中认为，不同的解题方法，可以培养学生不同的思维方式。
如，一题多解可以培养思维的广阔性；数形结合，可以培养思维的灵活性；巧妙构造，可以培养思维的独创性；逆向探求，可以培养思维的敏捷性；动静变换，可以培养思维的变通性等。
从心理学角度讲，发散性思维和集中性思维的有机结合，正是培养创造性思维的有效途径。
本文着重阐述一题多解与多题一解的灵活运用对培养学生思维能力的重要性。
一、一题多解对学生思维能力的培养同一数学问题用不同的数学方法来解答，我们称之为“一题多解”。
其特点就是对同一个问题从不同的角度、不同的结构形式、不同的相互关系通过不同的思路去解答同一个问题。
一题多解能快速整合所学知识，重要的是能培养学生细致的观察力、丰富的联想力和创造性的思维能力。
苏东坡的《题西林壁》“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”其中强调“横看”、“侧看”、“远看”、“近看”、“高看”、“低看”形象的给我们展示了“一题多解”的精髓。
（一）提高分析、解决问题的能力一题多解，能够使学生开阔思路，把学过的知识和方法融会贯通，使用自如，大大提升分析问题和解决问题的能力。
通过对这种一题两解的培养，可以锻炼学生在对基础知识和方法的掌握之后进行融会贯通，灵活运用，增强求简意识、优化思维品质，提升学生分析问题和解决问题的能力。
（二）提高多角度分析能力一题多解可以培养学生灵活、敏捷的思维能力，让学生学会对问题进行多角度、多层次的分析，达到对问题的全面理解，进而迅速准确的解决问题。
例2.6人站成一排，若甲不能站排头，乙不能站排尾，则不同的站法有多少种？解法一：假设左边第一个位置为排头，那么甲的站法有如下五种可能：①□甲□□□□②□□甲□□□③□□□甲□□④□□□□甲□⑤□□□□□甲。
又因为乙不能站排尾，故①-④中乙的站法各有C1 4种，在⑤中乙的站法有C1 5种，各图中其他人的站法均为A4 4种。
根据乘法和加法原理，不同的站法种数共有4C1 4A4 4+C15A4 4=504种。
解法二：有了上述分析为基础，我们可更抽象地分析如下：若甲站在中间4个位置之一，则乙可站在除排尾及甲的位置之外的4个位置之一，其余4人站在空下的4个位置之上，有C1 4C1 4A4 4种；若甲站排尾，则其余5人可站在空下的位置上，有5A种站法。
据加法原理共有C1 4C1 4A4 4+A5 55=504种不同的站法。
解法三：排头、排尾的站法可分三类，其一是由甲、乙之外的四人站，然后其他人再站，有A2 4A4 4种；其二是甲站排尾，其余五人再站，有A5 5种站法；其三是乙站排头，甲不站排尾，有C1 4A4 4种站法。
根据加法原理共有A2 4A4 4+A5 5+C1 4A4 4=504种不同的站法。
解法四：不考虑甲乙的要求共有A6 6种站法，其中甲站排头的有A5 5种站法，乙站排尾的也有A5 5种站法，但这两种站法中都包含了甲站排头、乙站排尾的情形，即A4 4种站法，因此符合要求的站法种数有A6 6-（2A5 5-A4 4）=504种。
四种解法中，第一种解法最为直接，即通过题干的条件一一进行确定，先确定甲不站排头，再确定乙不站排尾，最后再确定其他人位置，进而得出结果，调理清楚，顺理成章；第二种解法是对第一种解法的抽象；第三种解法与前两种从人员分配入手的解法不同，该解法从位置角度入手，分别确定排头、排尾的三类站法，进而相加求出结果；第四种解法采取逆向思维，先不考虑题干具体要求，求出站法总数，然后再依据要求一一进行排除，从而得出结论。
四种解法入手点各有不同，前两者从人员入手，第三种从位置入手，最后一种从反面入手，逆向思维。
通过这种多角度解题方法的训练，可以培养学生思维的立体性，多面性，灵活性，避免思维的单一和固化。
在遇到实际问题时，若一种角度无法解决，可另辟蹊径多角度分析，也许会收到更好的结果，正所谓“山重水复疑无路，柳暗花明又一村。
”（三）培养发散思维及联想能力通过一题多解的训练，可以培养学生的发散性思维及联想能力，学会用不同的知识解决同一个问题，达到对多种知识的融会贯通。
例3.已知：a>0,b>0,1a+2b=1,求ab的最小值。
解法一：利用不等关系∵a>0,b>0,1=1a+2b≥2ab2,∴ab≥8(当且仅当1a=2b=21，即a=2,b=4时取“=”号），∴ab的最小值是8。
解法二：平方法∵a>0,b>0,1a +2b=1， ∴1=（1a +2b ）²=2a 1+2b 4+ab 4≥222b a 4+ab 4=ab 8(当且仅当1a =2b =21，即a=2,b=4时取“=”号）。
∴ab 的最小值是8。
解法三：利用三角恒等关系换元∵a>0,b>0,1a +2b=1,可令α2cos 1=a ，α2sin 2=b 。
∴α2cos 1=a ，α2sin 2=b ， ∴82sin 8sin cos 2222≥=⋅=αααab (当且仅当1a =2b =21，即a=2,b=4时取“=”号）。
∴ab 的最小值是8。
解法四：均值换元∵a>0,b>0,1a +2b=1, 可令1a =21+t ，2b =21-t ，其中-21<t<21, ∴ab=24t -188≥,﹙∵1－4t ²∈(0,1]，当1－4t ²=1，即t=0，a=2，b=4时，取“=”号）解法五：导数求最值∵a>0,b>0,1a +2b=1, ∴b=1-a a 2>0,a>1,∴ab=1-a a 22。
令ƒ（a ）=1-a a 22（a>1), ∴ƒˊ(a)=21-a 2-a a 2）（）（。
令ƒˊ(a)=0，解得a=2>1。
当a ∈（1,2）时，ƒˊ(a)<0,此时ƒ（a ）是减函数，当a ∈（2，+∞）时，ƒˊ(a)>0,此时ƒ（a ）是增函数。
∴当a>1时，ƒ()最小值a =ƒ()极小值a =ƒ（2）=1-2222⨯=8。
（此时a=2,b=4)。
五种解法，第一种利用不等关系求解，是解决类似问题最先想到的方法，也是最直接的解法；第二种的平方法，目的是通过对已知条件进行操作使之出现所求的量，进而求解；第三、第四种都属于换元法，通过三角换元和均值换元，将所求的量变形为一元关系，即α2或t 的关系，进而求解；最后一种解法是通过导数求出函数单调性，进而求出最值，得出结果。
从知识面的角度来讲，这一道题目的五种解法，至少包含了五方面的知识，这不仅丰富了解法，同时也使一些知识点得到了充分的展示，更体现了数学知识的前后连贯性。
这种多知识点的解法，让学生真正体会到了数学的魅力，更深刻的理解了“条条大路通罗马”的寓意，对培养学生的发散思维能力起到了积极的影响作用。
二、多题一解对学生思维能力的培养用同一种数学思想方法解决不同的数学问题我们称之为“多题一解”。
在解题过程中，为强化某一解题方法，我们可将一些不同内容的练习题批编在一起，让学生用同一种方法去解，达到强化训练的目的，提高学生解题技巧技能，收到举一反三、触类旁通的效果。
例4.根据题意，完成下列填空：如图1，l 1和l 2是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点。
如果在这个平面内再画第三条直线l 3，那么这三条直线最多有＿个交点；如果在这个平面内再画第四条直线l 4，那么这四条直线最多可有＿个交点。
由此，我们可以猜想：在同一平面内的6条直线最多可有＿个交点，n（n为大于1的整数）条直线最多可有＿个交点（用含n的代数式表示）。
分析：“两条直线相交，有且只有一个交点。
”平面内有n 条直线，若全过同一点，则它们只有一个交点；若n 条直线两两相交，且交点各不相同，则其中一条与其他直线的交点有（n-1）个，故共有n （n-1)个交点。
但l i 与l j 的交点即为l j 与l i 的交点（其中i 、j 均为不大于n 的正整数），故最多共有()21-nn 个交点。
解：若同一平面有3条直线，都两两相交，且交点各不相同，则最多有3个交点（如图2）若同一平面有4条直线，都两两相交，且交点各不相同，则最多有6个交点（如图3）我们可以猜想：在同一平面内的6条直线最多可有15个交点，n （n 为大于1的整数）条直线最多可有()21-nn 个交点。
在解这道题的过程中，我们得到了一个很有用的式子()21-nn ，这个式子有着广泛的应用。
我们只要掌握它的实际含义，在很多相似问题的解法中，注意对比联想，会收到意想不到的效果。
相似 ：在抗击“非典”的斗争中，某市根据疫情的发展状况，决定让全市中小学放假两周，以切实保障广大中小学生的安全。
育英中学初二（1）班的全体同学在自主完成学习任务的同时，互相关心，两周内全班每个同学都通过一次电话，彼此问候。
如果该班有45名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？如果该班有n 名同学，那么共通了多少次电话？分析：由例4可知，选择其中任一个人，如甲，他与其他人共通了（n-1）次电话，因而如果该班有n 名同学，那么共通了()21-nn 次电话。
45人共通了()21-4545⨯=990（次）电话。