“数学王子”高斯的成就和启示【摘要】正如亨利·庞加莱所说：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。

”高斯是近代数学奠基者之一，和牛顿、阿基米德被誉为数学史上三大杰出的数学家。

他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献，“数学王子”是对他一生的成就恰如其份的颂赞。

除此之外，高斯还在天文学、大地测量学和物理学有杰出的研究成果，为后世人们的研究工作奠定基础。

本论文主要从数学领域谈谈高斯的重要成就和给我们的启示，并圆内接正十七边形的画法。

【关键词】高斯成长经历数学成就正十七边形启发一、家庭背景“数学王子”高斯的门第决不是王族。

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Karl Friederich Gauss ，1777年4月30日—1855年2月23日)出生于德意志不伦瑞克一个简陋的村舍里。

高斯的祖父是一个贫穷的农民，生活贫困。

父亲格哈德作为园丁、水渠管理人和砌砖工人艰苦地劳动一生，是一个正直、极为诚实的粗鲁的人。

孩提时代的高斯尊重顺从他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格。

然而他的父亲常常根据自己的人生经验来为年幼的高斯规划人生，曾尽一切力量加以阻挠儿子完成不朽的工作。

幸运的是，高斯有一位鼎力支持他成才的母亲罗捷雅和慧眼识才的舅舅弗里德里希。

罗捷雅真诚地希望儿子能干出一番伟大的事业，她对高斯的才华极为珍视。

然而，她也不敢轻易地让儿子投入当时尚不能养家糊口的数学研究中。

在高斯19岁那年，尽管他已做出了一些伟大的数学成就，但她仍向数学界的朋友波尔约问道：“高斯将来会有出息吗？”波尔约说她的儿子将是“欧洲最伟大的数学家”，为此她激动得热泪盈眶。

高斯的舅舅弗里德里希是一个非常聪明有天分的人，他发现他姐姐的孩子有着敏锐、不肯安静的头脑，于是就在这个年轻天才的身上倾注自己的才智，通过他特殊的人生哲学唤起高斯的敏捷的逻辑思维。

正是由于弗里德里希的慧眼识才，才使得高斯走上科学研究的道路，成为一位罕见的“数学王子”。

二、数学成就在整个数学史中，从没有过像高斯那样早熟的。

人们不知道阿基米德在什么时候显露出天才的迹象。

牛顿最早表现出他极高的数学才能时，可能也没有受到注意。

虽然看起来难以置信，高斯却在3岁以前就显示出了他的天才。

有一天，他观看父亲算帐，计算结束后，父亲念出了钱数准备写下时，身边传来细小的声音：“爸爸，算错了，应该是……”。

核对账单的结果，表明高斯说的数是对的。

10岁时，他的老师出了一道数学题：求1+2+3+4+……+100。

而高斯在五分钟后就给出了正确答案：5050。

高斯是这样计算的：1与100、2与99、3与98……每一对的和都是101，而100以内这样的数共有50对，101×50=5050。

他的这种计算方法，代数上称为等差级数求和公式。

1792年，高斯进人布伦斯维克的著名学院(卡罗琳学院)深造，攻读了牛顿、欧拉和拉格朗日等人的著作，并且立刻精通了这些数学家的著作。

1795年，高斯进入哥廷根大学，第一年就发明了最小二乘法。

第二年又严格地得出了可用直尺圆规作图的正多边形的条件：边数必须是k2或12k2+，从而宣布了自欧几里德以来几何作图上的一项成就——发现正十七边形的作图法，并用代数方法和几何图形结合起来证明了这一作图方法。

为了纪念高斯这一成就，在哥庭根大学的校园里，高斯的塑像下特意砌了正十七边形的底座。

同年，高斯又发表并证明了著名的数论方面的定理——二次互反律。

这一定理欧拉早已发现，但是欧拉和勒让德都没有能力加以证明。

这是高斯的得意之作，一生曾用八种方法证明，称之为“黄金律”。

1799年，高斯又证明了一个重要的定理：任何一元代数方程都有一个根。

这一结果数学上称为“代数基本定理”，也被称做“高斯定理”。

1801年，高斯出版了他的《算术研究》。

在此之后，他把他的活动范围扩大到天文学、大地测量学、电磁学等领域中的数学和实用两个方面。

1825年到1831年，高斯仍在数论方面作出贡献，继二次剩余论之后，又借助于他的复数理论提出了四次剩余论，又发现了一种用复数来对奇数进行因式分解的方法，例如)i2+3-=的形式，生动地表示新的素数(即质数)论的)(i21(1诞生。

在1828年，高斯出版了《关于曲面的一般研究》，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论。

高斯的曲面理论后来由黎曼发展。

高斯对待学问十分严谨，不轻易发表他的著作，除非他相信这篇著作已达到完美无缺的地步。

任何结论，不论多么重要，都要等他认为完善之后才发表，因此高斯一生共发表155篇论文，而遗下了大量的稿件，他的许多成就都是他死后在他的草稿和日记中发掘的。

高斯的科学日记（Notizenjournai)是数学史上最宝贵的文件之一。

第一篇记录了他的伟大发现。

高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。

他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。

他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。

要是在这本日记中埋藏了几年或几十年的东西当时被立刻发表的话，足以为高斯赢得半打伟大的声誉。

然而事实是，直到他去世很久以后，人们才知道，有多少19世纪的数学，高斯在1800年以前就已经预见并领先了。

要是他能泄漏一些他所知道的东西，很可能目前的数学要比现在的状况前进半个世纪或者更多。

有一个比喻说得非常好。

如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯。

单单从高斯的数学成就看，他对18、19世纪的数学发展做出了巨大的贡献，不愧被称为“数学王子”。

三、高斯和正十七边形尺规作图起源于古希腊的数学课题，是欧几里得提出的一种用无刻度的直尺和圆规作图的方法。

尺规作图只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。

尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同，直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。

只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度；圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。

它只可以拉开成之前构造过的长度。

很久以前，古希腊数学家曾深入研究过一类作图问题，即：如何利用尺规作圆的内接正多边形。

早在《几何原本》一书中，欧几里德就用尺规完成了圆内接正三边形、正四边形、正五边形，甚至正十五边形的作图问题。

然而，似乎更容易完成的正七、九、十一边形却未能作出。

在欧几里德之后的2000多年中，有关正多边形作图仍停留在欧几里德的水平上，未能向前迈进一步，直到1796年年仅19岁的高斯宣布他发现了正十七边形的作图方法，堪称数学史上的奇迹。

在经过继续研究后，高斯运用自己的理论巧妙地将尺规作图的几何问题化为一个代数方程，然后通过这个方程的整数解来确定哪些正多边形可以用尺规作出，最终在1801年对整个问题给出了一个完美的解答。

高斯指出，只用直尺和圆规作圆内接正n 边形，当n 满足如下特征之一时方可作出：1) n ＝2m （其中m 为正整数）。

2) 边数n 为质数且形如 n ＝22t +1（其中t 为非负整数），即n 为质数的费马数。

3) 边数 n 具有n ＝2m p 1p 2p 3……p k 的形式（其中p 1，p 2，p 3，……，p k 为互不相同的费马质数）。

下面是正十七边形作法：先计算或作出cos(360°/17)。

设正17边形中心角为a ，则17a=360°，即16a=360°-a故sin16a=-sina ，而sin16a=2sin8a*cos8a=4sin4a*cos4a*cos8a=16sina*cosa*cos2a*cos4a*cos8a 因sina 不等于0，两边除之有：16cosa*cos2a*cos4a*cos8a=-1又由2cosa*cos2a=cosa+cos3a ，cos15a=cos2a ，cos12a=cos5a有2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1令：x=cosa+cos2a+cos4a+cos8ay=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a有：x+y=-1/2又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cos15a)经计算知xy=-1 因而：4/)171(x +-=4/)171(y --=其次再设：x1=cosa+cos4a x2=cos2a+cos8ay1=cos3a+cos5a y2=cos6a+cos7a有：x1+x24/)171(+-=y1+y24/)171(--=最后，由cosa+cos4a=x1，cosa*cos4a=(y1)/2可求cosa的表达式，它是数的加减乘除平方根的组合，故正17边形可用尺规作出。

四、个人感想虽然高斯有着与生俱来的数学天分，但他的成就离不开他勤奋、严谨、虚心钻研的人生态度。

我们每个人的天分是不可改变的，但是怀揣着一颗对数学无比热枕的心能帮助我们在追求更高境界的数学的道路上走得更远。

数学是一门极严谨的学科，研究者应该有缜密的逻辑思维和严谨的科学态度。

高斯做到了这一点，他的座右铭是“少些，但要成熟些”；他的格言“不留下进一步要做的事”。

高斯在科学研究过程中会对某一个定理多次给予不同的证明，以求最简、严谨。

他说：“绝不能以为获得一个证明以后，研究便告结束，或把寻找另外的证明当作多余的奢侈品。

有时候你开始没有得到最简单和最完善的证明，但就是这样的证明才能深入到高级算术的真理的奇妙联系中去，这正是吸引我们去继续研究的主动力，并且最能使我们有所发现。

”学习数学就要像高斯那样不马虎，力求完美。

从高斯的身上还可以看到，学习者就需要一个适合自己的、科学的程序或者说是学习方法，去做自己最感兴趣的事情，而不是盲目地追求着什么。

高斯十二岁的时候已经开始怀疑元素几何学中的基础证明，当他十六岁的时候，就预测在欧式几何外必然会产生一门完全不同的几何学。

同样，高斯的事例启示我们在学习的过程中要持一种怀疑的态度，用发展的眼光看待问题，决不能循规蹈矩。

除此之外，高斯在毫不知情的情况下用一个晚上的时间解决困扰了科学家们2000多年的问题，可见，人的潜能是无限大的，要相信自己的能力。

天才是百分之九十九的汗水加上百分之一的灵感，对平凡的我们来说可能没有那得天独厚的才智，但是却可以用勤奋、科学的态度弥补那百分之一的不足。

参考文献：[1] E. T. 贝尔（Eric Temple Bell）著；徐源译.数学大师-从芝诺到庞加莱.上海：上海科技教育出版社, 2004.12.[2] (美)克莱因著.古今数学思想第2册英文.上海:上海科学技术出版社, 2014.01.版社, 2004.12.[3] 高斯：“我一生的效劳都服从于您的规律”[J].学习博览.2013(10)：20-21.。