看左边的图案，这个图案是
c b
a
公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注 解《周髀算经》时给出的，人们 称它为“赵爽弦图”．赵爽根据 此图指出：四个全等的直角三角 形（红色）可以如图围成一个大
正方形，中间的部分是一个小正
方形 （黄色）．
证法一：
用赵爽弦图证明勾股定理
zxxkw
b
a
a2 b2 =
c b
a
c2
相传2500年前，毕达哥拉斯有 一次在朋友家里做客时，发现朋友 家用砖铺成的地面中反映了直角三 角形三边的某种数量关系．
我们也来观察右 图中的地面，看看有 什么发现？
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了
勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 定理。
学以致用
1．在Rt△ABC中, ∠C=90°,
• 已知: a=5, b=12, 求c; • 已知: b=6,•c=10 , 求a; • 已知: a=7, c=25, 求b;
ac
b
总结:已知直角三角形的任意两 边,通过勾股定理可以求出第三边.
B 图2-1
C A
B 图2-2
图2-2
A、B、 C面积 关系 直角三 角形三 边关系
44
SA+SB=SC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
8
（图中每个小方格代表一个单位面积）
做一做
2．观察右边两个图 并填写下表：
A的面积 B的面积 C的面积
图1-2 16
9
25
图1-3
4
9
13
你是怎样得到 表中的结果的？与 同伴交流交流．
b
证
明a
二
c
c b
a
a
c
b
(a+b)2 =
c2 4 1 ab 2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
c
a 可得: a2 + b2 = c2
b
想一想: 大正方形的面积该怎样表示?
a2 b2
对比两个图形,你能直接观察验证出勾股定理吗？
a2
a2 c2
b2
a2 + b2 = c2
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021
Bb c
C
a2+b2=c2
命题1：
如果直角三角形的两直角边长 分别是a、b，斜边长是c，那么 a2+b2=c2。
弦
c
股
b
┏
勾a
a2+b2=c2
是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？这就需
要我们对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对
这个命题的证明方法已有几百种之多．下面我们就来看一看
我国汉代数学家赵爽是怎样证明这个命题的．
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜
边为c，那么 a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
结论变形
c2=a2 + b2
b
读一读
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年
前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三 角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即 “勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学 著作《周髀算经》中。在这本书中的另一处，还记载了勾 股定理的一般形式。
美国总统的证明
• 加菲尔德 （James A.
Garfield； 1831 1881）
• 1881 年成为美国第 20 任总统
• 1876 年提出有关证明
证法二：
伽菲尔德证法:
a bc
c a
b
S梯 形 12(ab)(ab)
SS梯形 1 2ab 1 2ab 1 2c2
∴ a2 + b2 = c2
2.在等腰Rt△ABC中, a=b=1,则c=√＿2＿＿ 3.在Rt△ABC中, ∠A=30°，AB=2，则BC= 1＿＿＿
AC=＿√＿3＿ 4.在一个直角三角形中, 两边长分别为3、4, 则第三边的长为_5__或_√___7_
B
bc
A
Ca
第2题图
B
A
C
第3题图
2 蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了
多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
A
G
B
E
C
F
D
学以致用
(1) 求下列图中字母所表示的正方形的面积
A=625
225
400
81
B =144
225
（2）如图，分别以Rt △ABC三边为边
向外作三个正方形，其面积分别用S1、
S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间
有的关系式为
．
S1 S2S3
C
S3
练习：（如图）
1.在Rt△ABC中, a=5,c=13,则下列计算正确的是
（B）
B
( A)b c2 a2 132 52 169 25 144
ac
(B )bc2a2123 5214 142
C
b
(C )bc2a2123 5214 142
A (D )b2c2a2123 5214 1 42
第1题图
C A
B
图1-2
C A
B
图1-3
议一议
3．三个正方形A，B，C
zxxkw
面积之间有什么关系？
A
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正 方形面积之和等于斜边 上的正方形的面积．
C
B
图1-2
C A
B
图1-3
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
A a
Sa+Sb=Sc
让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系
C
图1
A
图2
B C
图2-1
A
B 图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
A的面 B的面 C的面 积(单位 积(单位 积(单位
长度) 长度) 长度)
9
9
4
4
C A
zxxkw
S正方形c
B C
图2-1
A
413318 2
B
（单位面积）
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分“割”成若干个直角边为整数B 图2-1
C A
B 图2-2
1 62 2
1 8（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的正方形面积的一 半
A的面 B的面 C的面
积(单位 积(单位 积(单位
长度) 长度) 长度)
C
图2-1
9
9 18
A
zxxkw
A
S2
B
S1
（3）变式：你还能求出S1、S2、S3之间
的关系式吗？
S3
S2
S1
勾股定理的其它证明方法
C 想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？
b (1)
a
c
c
(4)
证
明
(2)
(a-b)2 (3)
一
(2) c
c
(3)
(a-b)2
=
C2－4×
1 2
ab
a2+b2－2ab = c2－2ab
(4)
可得：a2 + b2 = c2