D dS Q0 L
S
D 2 π rL L
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§6. 3
电位移 有电介质时的高斯定理
D 2 π rL L
由此可得,
R2

2πr ( R1 r R2 )
R 1
L

(i) 电介质中电位移大小为
D
(ii) 介质中的电场强度为
E 0 r 2π 0 r r
3. 极化电荷 极化电荷面密度
D dS Q0i
S i
' Pn
E0 D E
书上P209页的例1 大家自己看.
均匀电介质中的电场强度
r

因此 有介质时求解电场的步骤
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D E U
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§6. 3
电位移 有电介质时的高斯定理
例2 由半径为R1的长直圆柱导体和同轴的半径为R2的薄导体圆筒组成的体系,
R 1

(2) 求电介质内、外表面的极化电荷面密度； 因为
r 1 P ( r 1) 0 E 2π r r
P 1
( R1 r R2 )
(r R1 )
(r R2 )
介质表面上有
P 2
r 1 2 π r R1
r 1 2 π r R2
0
0
式中, Q0= 0 S是平行板表面的自由电荷, Q = S是介质表面的自由电荷,
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1 ' E d S ( Q Q ) 0
S
Байду номын сангаас
§6. 3 电位移 有电介质时的高斯定理
将 Q'

令
S
0 r E dS Q0
r 1 Q0 代入上式, 得 r
0 + + + + + + + + + + + ' - - - - - S
高斯面的上底面在平行板内, 下底面在介质内.
由高斯定理得
r
qi 1 ' E d S ( Q Q ) 0
S
+ + + + + + 0 - - - - - - - - - - '
- - - - - r E E' E
0
'
+ + + + + + ----------
'
0
0
0
E
dq e, 2 r 4 0 r
V
0 r 1 E dS
dq ,
r
(仅适于平行板中的均匀 电场)
0
q ,
i i
E V ,
-- ---------
+ + + +Q´
-Q
E0 0 / 0 E E0 / r P '
r 1 （ r 1) P ' 0 0 E0 （ r 1) 0 E r r
因为电极化强度的方向与总电场方向相同, 因此上式可写成矢量形式
P （ r 1) 0 E 0 E
' Pn
Pn为极化强度矢量沿表面法线方向的分量.
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r P
+ +
- - - - + + +
' 0
--------1 /20
§6. 2 静电场中的电介质 四、电介质中的电场强度 极化电荷与自由电荷的关系
当电介质在处于外电场 E0 中时, 介质表面产生束缚电荷.
- - - - - 束缚电荷也产生电场E´. 极化电荷产生的电场强度E´如何计算？ d r E E' E
极化面密度电荷为 内表面(r=R1) 外表面(r=R2)
1 ' P 1n ( r 1) 2 π r R1
2 ' P2 n ( r 1)
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2 π r R2
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§6. 4
孤立带电体的电场
电容 电容器
E 1 4 0
1 4 0
§6. 2 静电场中的电介质 三、电极化强度 复习：单位体积内的电偶极矩的矢量和
P
电极化强度
p V
V Cm-2 V内： 的单位：
E
P
p0
一个实例: 平行板间的电介质极化.
p ' V P V V
S
0 '
'
+++++++++
任意电介质表面极化电荷面密度
D 称为电位移矢量.
D的单位为 C ·m-2 .
D dS
S
称为通过任意闭合曲面S的电位移通量.
(2)式表明通过闭合圆柱面的电位移通量等于该圆柱面内所包围的自由电荷Q0.
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§6. 3
电位移 有电介质时的高斯定理
将上面从平行板电容器中得到的结论推广到任意介质，得到
介质中的高斯定理：在静电场中, 通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合
D P 0 E
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(5)
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§6. 3
电位移 有电介质时的高斯定理
三、小结
1. 引入电位移矢量 均匀介质中：
D E
任意介质中:
D P 0E
但请注意： 介质中电场的性质是由电场强度E和电势V描述的；
电位移矢量仅是一个辅助的物理量.
2. 有介质时的高斯定理:
上一节讨论了电介质在静电场中产生极化的情况. 以平行板为例, 如图所示 平行板带电0.
+++++++++++
0
平行板中充满均匀介质, 在外电场E0作用
下, 介质的表面会产生极化电荷.
反过来，极化电荷又会产生电场E. 因此，介质中的总电场E是自由电荷的电
场E0和极化电荷的电场E的叠加. 0 ' E0 0 E E0 E '
平行板间的电场强度(是均匀电场)为
3
r 5 .4
U 400V 5 1 E 2 10 V m d 2 10 3 m
云母中的极化强度为
P ( r 1) 0 E
d U
(5.4 1) 8.8541012 C 2 N 1 m2 2 105V m1
(3)
(3)式即是极化电荷与自由电荷面密度的关系.
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§6. 2 静电场中的电介质
总自由电荷与总极化电荷的关系
r 1 ' 0 r
Q'
r 1 Q0 r
- - - - - r E0 E ' E
+ + +
+++++++++++
+Q -Q´
极化强度与电场强度的关系
并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为r的电介质. 设直导体和圆 筒单位长度上的电荷分别为+ 和 - . 求 (1) 电介质中的电场强度、电 位移和极化强度；(2) 电介质内、外表面的极化电荷面密度.
R2
R 1

L
解 (1) 求电介质中的电场强 度、电位移和极化强度；
作一与圆柱导体同轴的长为L的柱形高斯面, 如上图所示. 由于电场具有轴对称性, 因此高斯面上的电位称矢量大小处处相等. 由介质中的高斯定理得,
即
D dS Q0i
S i
曲面内所包围的自由电荷的代数和. (3)
可见, 极化电荷对电位移通量无贡献 !!
如果闭合曲面内的自由电荷不是点电荷, 则
D dS Q0i dq
S i
(4)
二、 D、 E、 P 的关系
P ( r 1) 0 E
D 0 r E
式中,
(4)
r 1 电介质的电极化率.
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§6. 2 静电场中的电介质 例题 厚度为2.0毫米的云母片( r =5.4 ), 被夹于两平行板之间,
求当两平行板间的电压为400伏, 云母表面束缚电荷的面密度.
解 如图所示, 平行板间充满云母.
平反板间的距离等于云母片的厚度, 即 d 2 m m 2 1 0 m
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§6. 4 电容 电容器 二、电容器和电容器的电容
1.电容器: 由两个能够带有等值、异号电荷的导体组成的系统. 2.电容器电容
定义：C
Q Q VA VB U AB
7.792107 C m2 ( N 1 C V m1 ) 7.792107 C m2
因为, 云母为均匀介质, 且电场方向垂直于极板, 所以有
' Pn P 7.792107 C m2
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§6. 3
电位移 有电介质时的高斯定理
D
( R1 r R2 )
(iii) 介质中的极化强度为
r 1 P ( r 1) 0 E 2π r r
( R1 r R2 )
电场强度、电位移和极化强度的方向都是垂直直导体并沿径向方向指向外.