第 10 讲 电容 电介质1. 电容器的基本原理。

2. 电容的决定因素。

3.电场中的电介质。

本讲慢慢要开始从静电向电路过渡，物理的学习的过程就是更新认知的过程。

重新从更本质的角度理解带电，电流等现象会经常让我们有恍然大悟的感觉。

引入：1748 年的一个晴朗的日子，在巴黎圣母院前广场有一场大型“魔术” 表演，观众是法国国王路易 十五的王室成员和王公大臣们。

魔术师诺莱特让 700 个传教士手牵手站一排，用手去触摸一根从玻璃 瓶中引出的导线，瓶子中另引了一根线与起电机相连。

当最前面的传教士接触导线的一瞬间，所有的 传教士突然齐声大叫起来被震倒了。

这个实验轰动一时，而那个瓶子，就是莱顿发明的第一个可以把 电荷“装起来”的电容，又叫莱顿瓶。

知识点睛电容：顾名思义，电容器是储存电荷的装置.从莱顿开始，人类发明了各式各样的电容。

下面我们分 别给与定义与介绍。

一．孤立导体的电容附近没有其他导体和带电体的电容叫孤立电容。

不难证明，孤立电容的电势与其电量成正比。

我 们把其带电与电势的比叫做孤立电容器的电容值，简称电容，用字母 C 表示。

记作：qCU电容的单位为库伦每福特记作 C/V ，又叫法记作 F ，一般实用的单位为微法 μF ，或者皮法 pF 。

1F=106μF=1012pF显然上述的表达式只能是电容的测量定义式，不是确定式。

以下推到球形孤知识模块本讲提纲E 立电容的决定式：KQ如图：U =RQ R所以有： C = =U K可见：电容只与导体的几何因素和介质有关，与导体是否带电无关，是一个类似电阻一样的电器 参数。

比如整个地球的电容约 C E 二．双极电容≈ 7 ⨯10-4F （这么小…由此可见球电容的电容能力很小） 实际工作的电容大部分为双级电容，分别带等量异种电荷。

此时电容器的电容为电容器一块极板 所带电荷 Q 与两极板电势差 U 的比值 .电容的电路符号为：如图： C =Q =QV A -V B U其中：U = ⎰AB⋅d l双极电容的容值依然只与其几何参数以及两板间介质的种类有关，与是否带电以及带多少电无 关。

下面我们推导几种典型的电容的容值决定式。

不过首先我们来研究一下一般绝缘介质在电场中的 行为。

三．电介质的极化由于分子结构的不同，电介质分为两类：一类介质分子的正负电荷中心重合，这样的分子称为 无极分子；一类介质分子的正负电荷中心不重合，形成一个电偶极子，这样的分子称为有极分子．将电介质置于静电场中，无极分子正负电荷中心错开，沿外电场方向形成电偶极子；有极分子 的电偶极矩将趋于按外电场方向排列，两端面出现等量的异种电荷，这种现象叫电介质的极化，两端 面产生的电荷称为极化电荷或束缚电荷．由于极化电荷产生的附加电场 E ' 跟外电场 E 0 反向，所以介质内的场强 E 的比外场强 E 0 小，我E 0们把 E 0 与 E 的比值称为电介质的相对介电常数： εr = (εr > 1) ．E电介质的相对介电常数与真空介电常数的乘积 ε = εr ε0 ,称为电介质的绝对介电常数，简称介电常 数．不考虑材料分子对称的因素，我们可以简单的把均匀介质中的静电规律在真空中公式中的 K 换成 K．εr四．电容器电容的计算 根据电容的定义，我们不难总结出电容决定式计算的步骤。

1. 设两极板分别带电±Q 2. 求两极板间的电场强度 E ，注意如果有电介质存在，场强要除以相对介电常数.3. 求两极板间的电势差U4. 由C=Q/U 求C应用：1.平板电容如图，把两块金属板正对，中间夹上绝缘介质，就能形成平板电容。

把这个电容与电源正负极相接，就可以给电容冲上正负的等量异种电荷。

因为平板电容器中间电场强度：E =Qdσεεr=QεεrS所以电势差：U = Ed =εεrSQ ε ε S所以平板电容器电容决定式：C =U= 0 rd实际应用的平板电容：纸质电容，通过在绝缘纸间夹上很薄的锡箔，再滚成圆筒制作。

2.圆柱形电容器如图用同心的导体圆筒夹着电介质制作.设单位长度带电λ ，由高斯定理：E =λ2 πε r ε 0 r(RA< r < RB)R B又：U = ⎰ λd r = Q ln R BR A 2 πε r ε 0 r 2 πε r ε 0l R AC =Q=2 π ε r ε0lUlnRBRA3.球形电容器的电容同理易得同心球壳电容：R1R2C =五．电容电路4 π ε r ε 0R2- R1，其中R1，R2 为内外球壳半径。

这里不再证明。

电容上电压的测量，不能依赖电压表，因为电压表其实也是导体，会让电容两端相连放电。

所以一般只能用静电计粗略的测一下电势差，比较精确的电势差计原理很复杂，这里就不介绍了。

有兴趣的同学可以自己查阅资料。

q 1 21.串联电容电路特点：电压之和等于总电压，且电量处处一样，则必然有：1 =1 +1…CC 1C 22．并联电容电路特点：电压一致，总量为各电容电量之和，则必然有：C = C 1 + C 2 …以上推导留给同学们作为小练习。

3.电容器的能量用图表征电容器的充电过程，“搬运”电荷做功 W 就是图中阴影的面积，这也就是电容器的储能 E ，所以E = 1 q 0U 0 = 1 C U 2 = 0222 C电场的能量。

电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场？正确答案是后者，因此，我们 可以将电容器的能量用场强 E 表示。

对平行板电容器 E 总 = Sd E 28πk由公式 W = 1CU 2 ，似乎可以认为能量与带电体的电量有关，能量是集中在电荷上的．其实，前2面只是根据功能关系求得带电导体的静电能，并未涉及能量的分布问题．由于在静电场范围内，电荷 与电场总是联系在一起的，因此电能究竟与电荷还是与电场联系在一起，尚无法确定．经过麦克斯韦 的计算，表明电场可以脱离电荷而单独存在，并以有限的速度在空间传播，形成电磁波，而电磁波携带能量早已被实践所证实．因此我们说，电场是电能的携带者，电能是电场的能量．下面以平行板电 容器为例，用电场强度表示能量公式．W = 1 CU 2 = 1 ⋅ ε S ε E 2 Sd E 2 d 2 = 2 2 4πkd 8πk 2单位体积的电场能量称为电场的能量密度，用 ω 来表示 ω = W = ε EV 8πk上式是一个普遍适用的表达式，只要空间某点的电场强度已知，该处的能量密度即可求出，而整 个电场区的电场能量可以通过对体积求和来求得． 一电动势为 U 的电源对一电容为 C 的电容器充电，充电完毕后，电容器所带电量 Q = CU电容器所带能量 W = 1 CU 22而电源在对电容器充电过程中，所提供的能量为 W ' = QU = CU 2 = 2W也就是说，在充电过程中，电容器仅得到了电源提供的一半能量，另一半能量在导线和电源内阻 上转化为内能，以及以电磁波的形式发射出去．六．电容的应用 电容是电路中最基本的三大基本元器件之一，应用十分广泛。

下面是常见的电容器件：以下是一些电容出人意外的应用，具体原理请大家作为课后作业自己查阅资料弄明白。

1.自动干手机，利用电容原理控制电吹风工作。

2.现代移动电子设备的电容触摸屏：表面实际是一个电容板。

3.电磁炮：应用电容放电产生巨大推力。

其他的应用还有很多，有兴趣的同学不妨通过查阅资料做点小研究。

知识点睛【例1】两块平行放置的很大的金属薄板A 和B，面积都是S ，间距为d（d 远小于金属板的线度），已知A 板带净电量+Q1 ，B 板带尽电量+Q2 ，且Q2＜Q1 ，试求：（1）两板内外表面的电量分别是多少；（2）空间各处的场强；（3）两板间的电势差。

【例2】如图所示，一平行板电容器，极板面积为S ，其上半部为真空，而下半部充满相对介电常数为εr 的均匀电介质，当两极板分别带上+Q 和−Q的电量后，试求：（1）板上自由电荷的分布；（2）两板之间的场强；（3）介质表面的极化电荷。

CE B【例3】如图所示，当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个质量为m ，带电量为+q 的质点，平衡在极板间的空气区域中。

此后，若将平行板电容器中的电介质抽去，则该质点：（）A．保持不动 B.是否运动不能确定C. 向上运动D.向下运动【例4】C1 和C2 两空气电容器并联以后接电源充电，在电源保持联接的情况下，在C1 中插入一电介质板，则（）A．C1 极板上电量增加，C2 极板上电量减少。

B. C1 极板上电量减少，C2 极板上电量增加。

C. C1 极板上电量增加，C2 极板上电量不变。

D. C1 极板上电量减少，C2 极板上电量不变。

【例5】将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，断开电源。

再将一块与极板面积相同的金属板平行地插入两极板之间，则由于金属板的插入及其所放位置的不同，对电容器储能的影响为：（）(A) 储能减少，但与金属板位置无关；(B) 储能减少，但与金属板位置有关；(C) 储能增加，但与金属板位置无关；(D) 储能增加，但与金属板位置有关。

【例6】A、B、C 是三块平行金属板，面积均为200cm2，A、B 相距 4.0mm，A、C 相距2.0mm，B、C 两板都接地，如图9—1 所示。

设A 板带正电3.0×10-7C，不计边缘效应，求B 板和C板上的感应电荷，以及A 板的电势。

- q2q2q1A- q1ACEAB金属板C1C2ε【例7】一平行板电容器，极板面积为S，相距为d。

若B 板接地，且保持A 板的电势U A = U0 不变，如左下图所示。

把一块面积相同的带电量为Q 的导体薄板C 平行地插入两板之间，则导体薄板C 的电势U C 。

【例8】一电容为 C 的空气平行板电容器，接端电压为U 的电源充电后随即断开，试求把两个极板间距离增大至n 倍时外力所作的功。

【例9】一空气电容器是由同样的四片同样的金属片平行整齐排列而成的，极板面积为S ，相隔均为d ，求按照⑴和⑵连接时，A ，B 的电容是多少？【例10】如图所示，平行板电容器两极板M、N水平放置，距离为d =1.0cm，其电容为c = 2.0μ F，上极板M 与地连接，且中央有一小孔A，开始时两极板不带电。

一个装满油的容器置于小孔A 正上方，带电油滴一滴一滴地，从容器下的小孔无初速滴下，正好掉入小孔。

油滴下落高度h = 10cm 处，带电量q = 2.0 ⨯10-8 C ，质量m = 2.0 ⨯10-3 g ，设油滴落在N 板后把全部电量传给N 板，N 板上积存的油可以不考虑，g 取10m/s2，求：（1）第几滴油滴在板间作匀速直线运动？（2）能够到达N 板的油滴数量最多为多少？PM ABN1 12 2【例11】 把一个半径为 R ，带电为 Q 的实心均匀带电球从中间切成两半，再按在一起，至少需要 多大外力？提示：不妨先用能量法计算平板电容间吸引力。