脉宽为τ，脉冲幅度为A，重 复周期为T1的周期矩形脉冲信号， 在一个周期内的表达式为
f
(t)

A


t

T1 2




t

T1 2

其指数型傅里叶系数为
Fn

1 T1
T1 /2 f (t)e jn1tdt 1
T1 /2
T1
/2 /2
Ae jn1tdt
e jn1t

an
jbn 2
e jn1t

令
Fn

1 2
(an

jbn )
(n 1, 2,3L )
由于an是n的偶函数，bn是n的奇函数，于是有
F-n

1 2
(an

jbn )

1 2
(an

jbn )
(n 1, 2,3L )
1
1 T1/2
F0 2 (a0 b0 ) T1

A T1

sin

n1 2
n1


A T1

Sa

n1 2

2
5.2.3 典型矩形脉冲信号的频谱
函数 Sa(x) sin x 称为抽样函数， x
它有如下特点：
(1) Sa(x)是偶函数。
(2) 除了x = 0外，Sa(x)的过零点与sinx类似 sin x

cos(n1t
)
n1
T1 /2 0



4A n
0
傅里叶级数展开式为
n 1,3,5,L n 2, 4,6,L
f
(t)

4A
sin(1t)

1 3
sin(31t)

1 5
sin(51t)

1 7
sin(71t)
L

5.3 如图5.8所示周期三角波，在一个周期内的表达式为
B

2

或
Bf
1

显然，有效频谱宽度与脉冲宽度成反比。
5.2.3 典型矩形脉冲信号的频谱
4．周期信号的脉冲宽度和周期对频谱的影响
0
cos n = n2
傅里叶级数展开式为
f
(t)

4

2
N n1
1 (2n 1)2
cos[(4n 2)t]
5.2 连续周期信号的频谱
周期信号各个频率分量的振幅及相位沿频率轴分布的图形， 称为信号的频谱图，包括幅度频谱图和相位频谱图两种。按照 展开式的形式不同，分为单边频谱图和双边频谱图。
a0

A 2
F1

F1
e j1

1 2
A1e j1

A
j
e2
2
F1
F1
e j1
1 2
A1e j1

A
j
e2
2
F2 F2

F2 F2
e j2
1 2
A2e j2

e j2

1 2
A2e j2
A
j
e2
4 A
j
e2
4
F3

F3
e j3
1．三角型傅里叶级数
对于周期为T1的周期信号 f(t) ,其三角型傅里叶级 数展开式为

f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t)
式中
n1
1 2f1 2 T1
称为周期信号的角频 率也称为基波角频率
a0是直流分量,an和bn分别是余弦分量和正弦分 量的幅度，又称为傅里叶系数。
式中
n1
2 T1/2
a0 T1 0 f (t)dt
an

4 T1
T1 / 2
f (t)cos(n1t)dt
0
n 1,2,3,L
5.1.3 信号对称性与傅里叶系数的关系
2．奇对称信号
若f(t)关于原点对称, 称 f(t)为奇信号，则有

f (t) bn sin(n1t) n1
0
n 1,3,5,L n 1,3,5,L
5.1 如图5.6所示的周期对称方波，求其傅里叶 级数展开式。
f(t)是奇函数，因此
a0 0, an 0
bn

4 T1
T1 /2 0
f
(t ) sin(n1t )dt

4 T1
T1 /2
A sin(n1t )dt
0

4A T1

5.1.2 周期信号分解为傅里叶级数
a0、an和bn的计算公式为：

a0

1 T1
T1 /2
f (t)dt
T1 /2

an

2 T1
T1/2 f (t) cos(n1t)dt
T1 /2
2
bn

T1
T1 / 2
f (t)sin(n1t)dt
T1 /2
n 1, 2,3,L n 1, 2,3,L
式中
bn

4 T1
T1/2 f (t)sin(n1t)dt
0
n 1,2,3,L
5.1.3 信号对称性与傅里叶系数的关系
3．偶谐函数信号
若f(t)沿时间轴平移半个
周期后与原波形完全重叠 ,
称 f(t)为偶谐函数信号，

则有 f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t)
若f(t)沿时间轴平移半个周期
后与原波形相对于时间轴镜像
对称 ,称 f(t)为奇谐函数信号，

则有 f (t) an cos(n1t) bn sin(n1t)
n1
式中
an

4 T1
T1 /2
f (t)cos(n1t)dt
0

bn

4 T1
T1/2 f (t)sin(n1t)dt
(1) 离散性
(2) 谐波性
(3) 收敛性
5.2.3 典型矩形脉冲信号的频谱
3．周期信号的有效频谱宽度
周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，它可以分解为无限 多个频率分量，但其主要能量却集中在第一个零分量频率之内。
因此，通常把 0～ 2π/τ这段频率范围称为矩形脉冲信号的有效
频谱宽度或信号占有频带，记为
f
(t) cos n1tdt

j1 T1
T1/2 f (t)sin n1tdt
T1 /2
1 T1
T1/2 f (t)(cos n1t jsin n1t）dt
T1 /2
1 T1/2 f (t)e jn1tdt T1 T1/2
5.1.2 周期信号分解为傅里叶级数
三角型傅里叶级数的系数与指数型傅里叶级数的 系数之间的转换关系为
2、容易推广到复频域分析法，进而分析高阶复杂激励信号作 用下的电路响应 。
3、利用信号频谱的概念便于说明和分析信号失真、滤波、调 制等许多实际问题，从而获得清晰的物理概念。
5.1 连续周期信号的傅里叶级数展开
将信号表示为不同频率的正弦分量的线性组合， 称为信号的频谱分析。对连续周期信号进行频谱分析 的数学工具是是傅里叶级数，简称傅氏级数。
f (t)dt a0
T1 / 2
5.1.2 周期信号分解为傅里叶级数
如果将n的取值范围理解为 (,)
则


f (t) F0
Fne jn1t Fne jn1t
Fne jn1t
n1
n
称该式为指数型傅里叶级数， 式中
Fn

1 T1
T1 /2 T1 /2
an An cosn ,bn An sinn
2．指数型傅里叶级数
根据
cos(n1t)

e jn1t
e jn1t 2
,
sin(n1t)

e jn1t
e jn1t 2j
5.1.2 周期信号分解为傅里叶级数
得
f
(t)

a0

n1

an
jbn 2
式中
n1

2 T1/2
a0

T1
0
f (t)dt

an

4 T1
T1/2 f (t) cos(n1t)dt
0

bn

4 T1
T1/2 f (t)sin(n1t)dt
0
n 2, 4,6,L n 2, 4,6,L
5.1.3 信号对称性与傅里叶系数的关系
4．奇谐函数信号
f
(t)

t
t
0t≤ 2
t≤ 2
求其傅里叶级数展开式。
f(t)是偶函数，因此 bn 0

a0

2 T1
4
an T1
T1 / 2
2
f (t)dt
2 tdt
0
0
4
T1 / 2 0
f
(t) cos(n1t)dt

4

2 t cos 2ntdt
周期信号还可写为紧凑的三角型傅里叶级数形式

f (t) A0 An cos(n1t n ) n1
5.1.2 周期信号分解为傅里叶级数
两种表示形式的傅里叶级数的系数有如下关系：