勾股
勾2+股2=弦2
探究新知 素养考点 1 利用勾股定理求直角三角形的边长
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
B
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
a
解：(1)据勾股定理得
C
c a2 b2 52 52 50 5 2;
(2)据勾股定理得
c bA
b c2 a2 22 12 3.
为底面半圆弧长，AD=1.5π，所以AC= 32 (3 )2 3 4 2 ，
2
2
故选：C．
巩固练习
连接中考
2.（2019•南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长 为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至 少有___5__cm．
解析：由题意可得：杯子内的筷子长度最长为： 122 92 ＝15， 则筷子露在杯子外面的筷子长度最少为：20﹣15＝5（cm）．
巩固练习
2. 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；
解：由勾股定理得62+b2=102 b=8
a
（2）已知a=5，b=12，求c；
解：由勾股定理得52+122=c2 c=13
（3）已知c=25，b=15，求a. 解：由勾股定理得a2+152=252 a=20
1.（2018•东营）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，
现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它
爬行的最短距离是（ C ）
A．3 1
B．3
2
C．3
4 2 2
D．3
1 2
解析：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C的最短距离
为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD
探究新知
【思考】1.三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？
SA+SB=SC
2.由这三个正方形A，B，
C的边长构成的等腰直 角三角形三条边长度之 间有怎样的特殊关系？
AB C
探究新知 【讨论】1.三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？
A中含有__9__个小方格，即 A的面积是 9个单位面积． B的面积是 9 个单位面积． C的面积是 18 个单位面积．
素养目标
3. 从实际问题中构造直角三角形解决生产、生活中 的有关问题.
2. 能应用勾股定理解决简单的实际问题.
1. 能应用勾股定理计算直角三角形的边长.
探究新知 知识点 1 勾股定理解决线段长度问题
一个门框的尺寸如图所示，一块 长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否 从门框内通过？为什么？
已知条件有哪些？
x=10
x
13
（2）由勾股定理得： ∵ x2+52=132 ∴ x2=132-52 =169-25 =144 x=12
巩固练习
连接中考 1.（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦
为（ A ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2.（2019•毕节市）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若
EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（ B）
(2)
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
解得
x 5 3（舍去）
提示：已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，
要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
巩固练习
3.求出下列直角三角形中未知边的长度：
x
6
5
8
解：（1）由勾股定理得：
x2=62+82 =36+64 =100
A． 3
B．3
C． 5
D．5
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两边长分别为3和4，
则第C三边的长为（ ）
A.7或1
13B.
7 C. 5或
D2.若.1一5或个直12角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则另
一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则
探究新知 知识点 1
勾股定理的认识与证明
系案同角朋达
？
， 看 看 你 能 发 现 什 么 数 量 关
学 们 ， 我 们 也 来 观 察 一 下 图
三 角 形 三 边 的 某 种 数 量 关 系 ，
友 家 用 砖 铺 成 的 地 面 反 映 直
哥 拉 斯 去 朋 友 家 作 客 ， 发 现
相 传 两 千 五 百 年 前 ， 一 次 毕
探究新知
A C O BD
解：（1）在Rt△AOB中，根据勾股定理， OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1. OB=1.
答：梯子的底端B距墙角O为1米. （2）在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.
OD 3.15 1.77
BD OD OB 1.77 1 0.77
图2
小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b
朱实 黄实朱实
ba
c 〓b
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
课堂小结
内容 勾股定理 证 明
注意
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为
直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
在直角三角形中
看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还 是斜边时一定要分类讨论
第二课时
构造直角三角形解决实际问题
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导入新知
波平如镜一湖面，3尺高处出红莲. 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边. 离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲. 请君动脑想一想，湖水在此深几尺？ 这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题.
以木板能从门框内通过．
巩固练习
1.如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC 方向上一点，测得BC=60 m，AC=20m.求A，B两点间的距
离（结果取整数）.
解: AB BC2 AC2 602 202
40 2
≈57m
探究新知
知识点 2 勾股定理解决线段移动问题
如图，一架2.6米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙 AO上，这时AO 为2.4米． （1）求梯子的底端B距墙角O多少米？ （2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？
a c2 b2
b2 =c2-a2
b c2 a2
C
B
a
c a2 b2
巩固练习
1.求下列图中字母所表示的正方形的面积.
A=625 225
400
81
B=144 225
探究新知 小贴士
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”， 下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边 称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
探究新知
【思考】 1.木板能横着或竖着从门框通过吗？
不能 2.这个门框能通过的最大长度是多少？
小于AC即可 3.怎样判定这块木板能否通过木框？
求出斜边的长，与木板的宽比较.
探究新知
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2=AB2+BC2=12+22=5． AC= 5 ≈2.24． 因为AC大于木板的宽2.2 m，所
问题4 那么直角三角形三边a、b、
A aB
C c
a Bb c
Cb A
c之间的关系式是:
a2 + b2 = c2
探究新知
猜想：
命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，
那么a2+b2=c2.
c a
拼图证明
b
是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和
猜想还不能把问题彻底搞清楚.
为a、b,斜边为c，那么
ac
a2 b2 c2 B
即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
勾a
b
弦
c
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°C 来自b A则 a2 b2 c2
探究新知
A
公式变形
勾股定理给出了直角三角形三边之间的关
系，即两直角边的平方和等于斜边的平方.
a2 + b2 =c2
b
c a2=c2－b2
这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．下面我们就一
起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的．
探究新知
赵爽拼图证明法： 以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两
个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子.你能 做到吗？试试看.
c
朱实
c
朱实 黄实 朱实
ba
图1
朱实
∴a2 +b2 =c2.
探究新知
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2 + b2 = c2.
a
证明：
∵
S梯形
1 (a b)(a b) 2
bc
S梯形
1 2
ab
1 2