j)
齐次线性差分方程的通解
定理1.1 设A(z)是k个互不相同的零点 z1, z2 , zk 其中z j
是r(j)重零点。则
{z
t j
tl
},
l
0,1, 2,
r( j) 1, j 1,2,
k
是（1.2）的p个解，而且（1.2)的任何解都可以写成
这p个解的线性组合
k r ( j)1
（1.7）
Xt
60
80
100
120
AR( p) 模型 定义2.1（ AR( p) 模型） 如果{t} 是白噪声WN(0， 2 ),实数
a1, a2, ap , ap 0 使得多项式A(z)的零点都在单位圆外 p A(z) 1 aj z j 0, z 1 则称P阶差分方程 j 1
p
Xt a j Xt j t ,t Z j 1
是一个p阶自回归模型，简称为 AR( p) 模型
满足 AR( p) 模型(2.5)的平稳时间序列称为（2.5）的平稳解或 AR( p) 序列
称 a (a1,a2, ap )T 为 AR( p) 模型的自回归系数。
称条件（2.4）是稳定性条件或最小相位条件。 A（z）称为模型（2.5）的特征多项式。
X t [a1X t1 a2 X t2 ap X t p ] 0,t Z
为p阶齐次常系数线性差分方程，简称齐次差分方程。 满足上式方程的实数列称为它的解， 满足上式的实值（或复值）时间序列也成为它的解。
上式的解可以由p个初值逐次递推得到
Xt [a1X t1 a2 X t2 ap X t p ],t p
U
l
,
jt
'
z
t j
,
t
Z
j1 l0
其中的随机变量Ul, j 可以由 {Xt} 的初值唯一决定，（1.7）称为 齐次线性差分方程（1.2）的通解。
差分方程（1.2）的实值解可以表示为
k r ( j)1
Vl,
jt'
t j
cos(
jt
j
),
t
Z
j1 l0
{Vl, j ,l, j} 可以由初始值唯一决定。
AR( p) 的平稳解
设多项式A(Z)的互异根是 x1 x0 0,生成{t}~WN(0, 2）
取 1 min{ z j }
从而有泰勒级数 Xt A（1 B)t j t j
j0
令
A（1 B) j B j
j0
如果{Xt}是（2.6）的平稳解，则
Xt A1(B)A(B)Xt A1(B)t
单摆的10000个观测值(a=1)：
100 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 0
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
单摆的120个观测值(a=-1.25)：
12
x 10 3
2
1
0
-1
-2
-3
-4 0
20
40
时间序列分析第二章自回归模 型
§2.1推移算子和常系数差分方程
一.推移算子
对任何时间序列 {Xt} 和无穷级数 (z) bj z j 只要级数 bj Xt j
在某种意义下收敛，就定义
j
j
() bj j j
() Xt bj j Xt bj Xt j
j
j
并称B是时间t的后向推移算子，简称推移算子。
Xtp
1 ap
[Xt
a1X t1
a2 X t2
ap1X t p1],t p 0
若初值是随机变量则递推得到的是时间序列。
用推移算子把差分方程写成 p A(B)Xt 0,t Z,其中A(z) 1 a j z j 0, z 1 j 1
A( z )称为差分方程的特征多项式。
解有线性性质：{Xt} 和{Y t} 是解，则 Xt +Yt 也是解。
由此可见平稳解如果存在必然为
Xt A1(B)t j t j j0
有
j0
A(B) Xt (B)[(z)Xt ] (B)[ (B) X t ]
p
(6) 对时间序列{Xt} ，{Yt} ,多项式 (z) cjz j 和随机变量U,V,W有 j0
(B)(UXt VYt W ) U (B) Xt V (B)Yt W (1)
二.常系数齐次线性差分方程 给定p个实数 a1, a2, ap , ap 0,我们称
通解的收敛性 如果差分方程的特征多项式A(Z)的根都在单位圆外：
z j 1, j 1, 2, k或A(z) 0, z 1
取 1 min{ z j : j 1, 2 k},则
tl z j tl ( / z j ) t o( t ) 于是方程的任意解满足 Xt o( t )a.s.,t 称Xt以负指数阶收
推移算子有称为时滞算子或延迟算子，推移算子的性质：
（1）对和t无关的随机变量Y有BY=Y，
（2）Bn (aXt ) aBn Xt aXtn （3）Bnm Xt Bn (Bm )Xt Xtnm
p
p
（4）对多项式 (z) cj z j有 (B)Xt cj Xt j
j0
j0
（5) 对多项式 (z) p cj z j和(z)=d j z j 的乘积 A(z) (z)(z)
k r ( j )1
Xt
X (0) t
Байду номын сангаас
U
l
,
j
t
'
z
t j
,
t
Z
j1 l0
§2.2 自回归模型及其平稳性
例子：
单摆的120个观测值(a=-0.35)
8
6
4
2
0
-2
-4
0
20
40
60
80
100
120
单摆的120个观测值(a=-0.85)：
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
20
40
60
80
100
120
差分方程的基础解：设多项式A(z)是k个互不相同的零点 z1, z2, zk ， 其中z j是r(j)重零点。 可以证明对每个z j有
A(B)t'zj t 0,l 0,1,2, r( j) 1
证明:设A(z)有分解
k
则有
A( z )
(1
j 1
z
1 j
z
)
r
(
j)
k
A(B)
(1
j 1
z j 1B)r(
敛到0.
通解不收敛的情形 如果特征多项式有单位根，则方程有一个周期解
Xt cos(jt),t Z
如果单位圆内有根，则方程有一个爆炸解
Xt
( 1
j
) cos( jt ), t
Z
非齐次线性差分方程及其通解
设{Yt}为实值时间序列
（1.10）
A(B) Xt Yt ,t Z
满足（1.10）的时间序列称为（1.10）的解。 如果有（1.10）的某个解，则通解可以写成