1.7特殊数域上的多项式
1.分别在R 上与C 上分解因式: (1)4
5x -; (2)3
2
423x x x +--
在R 上: 42225((x x x x x x -=+=++
在C 上:425(()()(x x x x x x x x -=++=++
(2) 在R 上与在C 上都有:3
2
4231()(x x x x x x +--=-+
+ 2.已知多项式329609232()f x x x x =---有一个二重根,求()f x 的所有根.
2271209294632()()()f x x x x x '=--=-+,易知32x +是()f x 的因式,所以是
()f x 的二重因式.,所以2328()()()f x x x =+-
3.求下列多项式的有理根. (1)32
61514x x x -+-; (2) 32
4761x x x ---
(3) 5432
614113x x x x x +----
3
2
2
61514247()()x x x x x x -+-=--+,有理根为2 (2) 3
2
2
47614121()()x x x x x x ---=+--,有理根为14
-
; (3) 5
4
3
2
4
61411313()()x x x x x x x +----=+-;有理根为四重根1-,单根3; (4) 4
3243211
65421210822
()x x x x x x x x +
-++=+-++ 3121682()()x x x =
+-+,有理根为12
- 5.判断下列多项式在有理数域是否可约. (1)4
3
2
8122x x x +++;
(2)4
1x + (3)6
3
1x x ++
(4)1p x px ++,p 为奇质数.
(1)对于4
3
2
8122x x x +++;取2p =，则2
181222|,|,|,|,|p p p p p 由爱森斯坦
判别法知4
3
2
8122x x x +++在Q 上不可约。
(2)对于41x +，令1x y =+，
443214642x y y y y +=++++，
取2p =则2146422|,|,|,|,|,|p p p p p p 由爱森斯坦判别法知4324642y y y y ++++在Q 上不可约。
所以4
1x +在Q 上也不可约。
(3)对于6
3
1x x ++，令1x y =+，
则63654321615211893x x y y y y y y ++=++++++，取3p = 则216152118933|,|,|,|,|,|,|,|p p p p p p p p
由爱森斯坦判别法知65432615211893y y y y y y ++++++在Q 上不可约。
所以
631x x ++在Q 上也不可约。
(4)对于1p
x px ++,p 为奇质数. 令1x y =-
则11
222211112()()p p p p p p p p p x px y p y y C y
C y C y py p ---++=-+-+=-+--+-
于是1
2
2
2
12|,|,|,,|,|,|,|p p p p p p C p C p C p p p p p p - ，
由爱森斯坦判别法知111()()p
y p y -+-+在Q 上不可约。
所以1p
x px ++在Q 上也不可约。
6.证明下列多项式在Q 上不可约:
(2) 1
21()p p g x x
x x --=++++ ,P 为素数;
(3) 21()p
h x x px p =++-,P 为素数;
由于1
2112!()()()!p
p p p f x x px
p p x p p x p --=++-++-⋅+
于是211|,|,|(),,|!,|!p p p p p p p p p p -
由爱森斯坦判别法知12112()()!p p p x px p p x p p x p --++-++-⋅+ 在Q 上不可约。
所以()f x 在Q 上也不可约。
(2) 令1x y =+,由于11()()p x g x x -=-,111()()p yg y y +=+-
所以121122
1()p p p p p p p g x x x x y C y C y p -----=++++=++++ 于是12221|,|,|,,|,|,|p p p p p p C p C p C p p p p - ,
由爱森斯坦判别法知1
122
p p p p p y
C y
C y p ---++++ 在Q 上不可约。
所以121()p p g x x x x --=++++ 在Q 上也不可约。
(3) 如果2p =,此时223()h x x x =++由于没有实数根,故在R 上不可约,当然在Q 上也不可约;
如果3p =,则335()h x x x =++,令1x y =+,则32366()h x y y y =+++,取素数3,则由爱森斯坦判别法知32366y y y +++在Q 上不可约,所以335()h x x x =++在Q 上也不可约;
当3p >时,令1x y =+,
则1121()()()p h x y p y p =++++-1
1
23p
p p y C y
py p -=++++
由爱森斯坦判别法知1
1
23p
p p y C y
py p -++++ 在Q 上不可约。
所以21()p h x x px p =++-在Q 上也不可约
7.设()f x 是整系数多项式,证明如果01(),()f f 都是奇数,则()f x 不能有整数根.
设1
110()n
n n n f x a x a x
a x a --=++++
依题设有0a 和012n a a a a ++++ 都是奇数,因此()f x 不可能有偶数根. 如果奇数1c +是()f x 的根,这里c 是偶数. 由于 1212()(),,,,k
k k k k a c a u a k n +=+=
1222
133|,|,|,,|,|,|,|p p p p
p p C p C p C p p p p p p -
所以 111111012()()()n n n n n n f c a u a u a u a a a a ---+=++++++++ 其结果是一个偶数加一个奇数,不可能等于零,所以()f x 不能有整数根
8.设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 是整系数多项式,若0,n a a 都是奇数,11(),()f f -中至少有一个是奇数,证明()f x 没有有理根.
用反证法,假设()f x 有有理根
b
a
,那么,1()()()f x ax b f x =-,这里()g x 也是整系数多项式1211210()n n n n f x b x b x b x b ----=++++ .
首先假定1()f 是奇数,依题意00()f a =, 所以100()bf bb -=-是奇数,故0,b b 都是奇数;
111()()()f a b f =+是奇数,所以11()f 也必然是奇数,同时由于,a b b +都是奇数,所以a 是
偶数,于是1n n a ab -=是奇数导出1n b -是奇数,这说明1()f x 与()f x 具有相同的特点:
10,n b b -都是奇数,11()f 是奇数,但1()()f x f x ∂<∂;
上面的推导还可以继续下去:于是得到一串次数不断降低的多项式满足
12()()()()k f x f x f x f x ∂>∂>∂>>∂>
但()f x 的次数有限,上述步骤只能进行到一次多项式1()n f x a x b -''=+满足:
,a b ''都是奇数,且a b ''+也是奇数,而这时不可能的,所以()f x 没有有理根
同理可以证明1()f -是奇数的情形.
,并且虚数根成对出现(共轭),去掉这些成对的虚数根后,至少剩下一个不能配对的根,因此这个根就只能是实数,所以奇数次实系数多项式至少有一个实数根.。