有限域上的多项式理论 Polynomial Theory of Finite Fields

密级：公开 I 摘 要 域的概念的提出为代数学中的讨论的方便提供了条件，而作为在域中占有重要地位的有限域而言，更是在组合设计、编码理论、密码学、计算机代数和通信系统等领域发挥着自己的作用。多项式理论又是代数学中的基础，它的应用在其它领域也是常见的，本文的主要思想就是将高等代数中建立在数域中的多项式理论进行推广，将有关的性质、定理在有限域上进行验证，进而形成一套建立在有限域上的多项式理论。 当下，通信技术已经飞速发展，而保证信息在传输过程中的准确性是通信安全的一个重要前提。本文在第三章给出了有限域上的多项式在该领域的一个具体应用——利用本原多项式来进行纠错码的操作。 正文部分的结构组成包括：有限域的基本知识、一元多项式、多项式的整除和带余除法、最大公因式、因式分解定理、重因式、多元多项式及本原多项式在纠错码中的应用。 本文通过大量理论证明，验证了关于多项式的定理，性质，将数域上的多项式理论建立在有限域上。从结果中可以看出，对于建立在一般数域的多项式理论，大部分的结果在有限域上也是普遍成立的，但是不排除一些特殊的情况。同时，在部分章节的最后也给出了一些只有在有限域中成立，在普通数域中不成立的结论。

关键词：有限域；多项式；带余除法；纠错码 II

Abstract With the concept of the field being raised, it has provided the conditions for the convenience of the discussion in Algebra. Meanwhile, the finite field also plays an important role in combination of design, coding theory, cryptography, commuter and communications systems. Polynomial theory is the basis of Algebra. The main idea is to put the polynomial theory to the finite field and check the related properties and theorems. Nowadays, the communicational technology has developed rapidly. Keeping accuracy is an important prerequisite for communication security. In the third chapter, this paper introduces the primitive polynomial’s applications: Error-correcting code. The text contains: The basis knowledge of finite field, polynomial, divisibility of polynomials, greatest common factor, factorization theorem, repeated divisors, multivariate polynomial and the primitive polynomial’s applications: Error-correcting code. In this paper, a number of properties and theorems are checked by theoretical proof. We will establish the polynomial theory of finite field. According to it, we can see that the most parts of the polynomial theory of number field are established in finite field except in some special situations. At the same time, some conclusions which only established in finite field are given in some chapters.

Keywords: finite fields; polynomial; divisibility of polynomials; Error-correcting code I

目 录 摘 要 ..................................................................................................................................... I Abstract ..................................................................................................................................... II 第1章 绪论 .............................................................................................................................. 1 1.1 有限域的发展 ............................................................................................................. 1 1.2 有限域的基础理论 ..................................................................................................... 2 第2章 有限域上的多项式 ...................................................................................................... 5 2.1 一元多项式 ................................................................................................................. 5 2.2 多项式的整除和带余除法 ......................................................................................... 9 2.4 最大公因式 ............................................................................................................... 14 2.5 因式分解定理 ........................................................................................................... 18 2.6 重因式 ....................................................................................................................... 21 2.7 多元多项式 ............................................................................................................... 23 第3章 有限域上的多项式的应用 ........................................................................................ 28 第4章 结论 ............................................................................................................................ 34 参 考 文 献 ............................................................................................................................ 35 致 谢 ..................................................................................................... 错误!未定义书签。 1

第1章 绪论 1.1 有限域的发展 一般地讲，域是可以进行传统算术的四则运算的集合。由此，要定义域首先得有完善的数系，这样逆运算才能进行。历史上，人们把零、分数、负数、无理数、复数引进熟悉经历了漫长的过程。1500年左右，人们已经接受零作为一个数，无理数也用得更随便了。到1700年左右，人们已经很熟悉整数、分数、无理数、负数和复数了，但是对它们还有错误的认识，甚至采取回避的态度。 正是因为数系的扩大，才可以进行加法和乘法的逆运算，也就是为代数结构提供了活动的场所，而这一切都是在不知不觉中发生的。从算术开始，人们就知道有理数对加减乘除是封闭的，而且满足交换律、结合律和分配律，也就是我们现在所说的域，但是他们并不知道这就是域的性质。 迈向有限域论的第一步发生在古代。这个理论的基本定理是EUCLID《原本》，用现代语言叙述如下: 如果,,,,1,,1abnNanbn，那么,1abn。 有限域的另一个重要结果是C. G. Bachet给出的一个算法，如果,ab是自然数且互素，计算非负整数,xy，使得,xbya，且1axby，C.G. Bachet的 算法允许在有限域pZ中计算逆元。