数字信号处理数字滤波器的设计学院计算机与电子信息学院专业电子信息科学与技术班级电子15-2 班学号指导教师利民数字滤波器的设计一、模拟低通滤波器的设计方法1、Butterworth 滤波器设计步骤： ⑴.确定阶次N① 已知Ωc 、Ωs 和As 求Butterworth DF 阶数N② 已知Ωc 、Ωs 和Ω=Ωp()的衰减Ap 求Butterworth DF阶数N③ 已知Ωp 、Ωs 和Ω=Ωp 的衰减Ap 和As 求Butterworth DF 阶数N3dB p Ω≠-/10/1022(/)101,(/)101p s A A N N p c s c ΩΩ=-ΩΩ=-则：⑵.用阶次N 确定 根据公式：在左半平面的极点即为的极点，因而2、切比雪夫低通滤波器设计步骤： ⑴.确定技术指标归一化： ⑵.根据技术指标求出滤波器阶数N 及：⑶.求出归一化系统函数 其中极点由下式求出：()a H s 1,2,2N()()a a H s H s -()a H s 2,,N p Ωp αs Ωs α/1p p p λ=ΩΩ=/s s p λ=ΩΩε0.12101δε=-p δα=或者由和S 直接查表得二、数字低通滤波器的设计步骤：1、确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率pω、通带最大衰减系数pα、阻带截止频率ω、阻带最小衰减系数s α。
2、将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。
巴特沃斯：切比雪夫：N ()a H p /ss p λ=ΩΩ0.12101δε=-p δα=3、把模拟滤波器变换成数字滤波器，即把模拟滤波器的系数)(S H 映射成数字滤波器的系统函数)(z H 。
实现系统传递函数s 域至z 域映射有脉冲响应不变法和双线性映射两种方法。
（1）脉冲响应不变法。
按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数()s H a 转换成数字低通滤波器的系统函数H(z)。
设模拟滤波器的传输函数为()s H a ，相应的单位冲激响应是()t h a ，()s H a =LT[()t h a ]，LT[.]代表拉氏变换，对()t h a 进行等间隔采样，采样间隔为T ，得到()nT h a ，将h(n)= ()nT h a 作为数字滤波器的单位取样响应，那么数字滤波器的系统函数H(z)便是h(n)的Z 变换。
因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，它是h(n)在采样点上等于()t h a 。
设模拟滤波器()s H a 只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将()s H a 用部分分式表示：()∑=-=Ni iia s s A s H 1，式中i s 为()s H a 的单阶极点。
将()s H a 逆拉氏变换得到()t h a ：())(1t u e A t h t s Ni i a i ∑== ，式中u(t)是单位阶跃函数。
对()t h a 进行等间隔采样，采样间隔为T,得到：())()(1nT u e A nT h n h nT s Ni i a i ∑===对上式进行Z 变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：()∑=--=Ni T s iz eA z H i 111 ， 经过一系列变换得到：)(1)(s kae z jk s HTz H sT Ω-=∑=（2）双线性变换法这种变换方法，采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率围压缩到±π/T 之间，再用sTe z =转换到z 平面上。
设Ha （s ），s=j Ω，经过非线性频率压缩后用Ha （s1），1s =j Ω1表示，这里用正切变换实现频率压缩：()T T 15.0tan 2Ω=Ω式中T 仍是采样间隔，当Ω1从-π/T 经过0变化到π/T 时，Ω则由-∞经过0变化到+∞，实现了s 平面上整个虚轴完全压缩到1s 平面上虚轴的±π/T 之间的转换。
这样便有()t s Ts z z T T th T s 111125.021--+-=Ω=再通过sTe z = 转换到z 平面上，得到：11112--+-=z z T ss T s T z -+=22令ωj e z j s =Ω=, ，有ωωj j e e T j --+-=Ω112 ω21tan 2T =Ω 两种方法比较：脉冲响应不变法的优点：1，模拟频率到数字频率的转换时线性的；2，数字滤波器单位脉冲响应的数字表示近似原型的模拟滤波器单位脉冲响应，因此时域特性逼近好。
缺点：会产生频谱混叠现象，只适合带限滤波器 双线性变换法优点：克服多值映射得关系，可以消除频率的混叠 缺点：时域到频域的变换是非线性的，在高频处有较大的失真。
三、数字高通滤波器的设计步骤：① 数字高通滤波器的技术指标为：通带截止频率ωp 阻带截止频率ωs 通带衰减频率αP 阻带衰减频率 αs2/p p sw f F π=2/s s sw f F π=② 预畸变处理，将数字高通指标转换为模拟低通指标2cot()2s s w T Ω=2cot()2p p w T Ω=④ 确定阶数N 由1010lg((101)(101))2lg()ats p N δ--=ΩΩ （可由模拟低通滤波器设计方法可得） ④ 归一化及去归一化 查表令s=s/Ω 归一化模拟低通圆型系统函数G (P )=12+√2P +1⑤ 低通向高通转化 令s1=1/s 由频率变换公式 H a (s )=G (ρ)|ρ=ρρρρρρ 即可得 ⑥ 滤波器数字化 令1-1-z -1z 12s +=T 利用双线性变换化 H (z )=H a (s )|ρ=1−ρ−11+ρ−1带入数据可得数字高通H(z)数字高通不能采用脉冲响应不变法原因是：脉冲响应不变法有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通。
而高频衰()a H s减越大，频响的混淆效应越小，至于高通滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。
四、数字带通滤波器的设计：步骤：（1）确定性能指标: 在设计带通滤波器之前,首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标:通带截止频率wc1,wc2、阻带截止频率wr1，wr2、阻带最小衰减αs通带最大衰减αp(2) 对带通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变Ω=2T∗tan(w2)得到带通模拟滤波器H(s)的边界频率主要是通带截止频率ωp1,ωp2;阻带截止频率ωs1，ωs2的转换。
对双线性变换法一般T=2s通带截止频率wc1=(2/T)*tan(wp1/2) 、wc2=(2/T)*tan(wp2/2) 阻带截止频率wr1=(2/T)*tan(ws1/2)、wr2=(2/T)*tan(ws2/2)阻带最小衰减αs通带最大衰减αp(3)低通到带通频率变换λ=((Ω2)−(Ω02)B∗Ω)将模拟带通滤波器指标转换为模拟低通滤波器指标。
B=wc2-wc1normwr1=(((wr1^2)-(w0^2))/(B*wr1)) normwr2=(((wr2^2)-(w0^2))/(B*wr2)) normwc1=(((wc1^2)-(w0^2))/(B*wc1)) normwc2=(((wc2^2)-(w0^2))/(B*wc2)) 模拟低通滤波器指标： normwc ，normwr ，αp，αs(4)设计模拟低通原型滤波器。
查表得到归一化低通传输函数G(p)：G (P )=12+√2P +1用模拟低通滤波器设计方法（由巴特沃斯设计步骤或切比雪夫设计步骤）得到模拟低通滤波器的传输函数Ha(s)(5)模拟低通滤波器转化为模拟带通滤波器。
)(202)()(l u s s p a p G s H Ω-ΩΩ+==(6)利用双线性变换法将模拟带通滤波器Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)由1-1-z -1z 12s +=T 11112202)(--+-=Ω-ΩΩ+=z z s l u s s p 得到 H (z )=H a(s )|ρ=1−ρ−11+ρ−1也可以用脉冲响应不变法：)(1)(s kae z jk s HTz H sT Ω-=∑=两种方法比较比较：脉冲响应不变法数字滤波器单位脉冲响应的数字表示近似原型的模拟滤波器单位脉冲响应，因此时域特性逼近好。
但会产生频谱混叠现象，只适合带限滤波器 双线性变换法可以克服多值映射得关系，可以消除频率的混叠但时域到频域的变换是非线性的，在高频处有较大的失真。
五、数字带阻滤波器的设计：步骤：（1） 确定性能指标:通带截止频率wc1,wc2、阻带截止频率wr1，wr2、阻带最小衰减αs 通带最大衰减αp(2) 对带通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变Ω=2T ∗tan (w 2) 主要是通带截止频率ωp1,ωp2;阻带截止频率ωs1，ωs2的转换。
对双线性变换法一般T=2s通带截止频率wc1=(2/T)*tan(wp1/2) 、wc2=(2/T)*tan(wp2/2)阻带截止频率wr1=(2/T)*tan(ws1/2)、wr2=(2/T)*tan(ws2/2)阻带最小衰减αs 通带最大衰减αp（由模拟低通滤波器设计方法可得）模拟低通滤波器确定模拟带阻滤波器由模拟低通到模拟带阻的变换 这一模拟低通到带阻的变换关系为()a H ss =Ω02PP 2+Ω02 式中s 为模拟低通原型拉普拉斯变量(s=σ+j Ω)，ρ为模拟带阻的拉普拉斯变 量(ρ=σ +j Ω )，Ω0是模拟带阻滤波器的几何中心频率。
令ρ=j Ω可得S =j Ω02ΩΩ02−Ω2故ρ平面的虚轴与s 平面的虚轴相对应，代入s=j Ω，消去j ，可得Ω=n 02ΩΩ02−Ω2低通的阻带映像到带阻的阻带ΩC =Ω02Ω1Ω0−Ω1−ΩC =Ω02Ω2Ω02−Ω22 化简得到：Ω0=Ω1Ω2̅̅̅̅̅̅̅̅̅=Ω2−Ω1=Ω1Ω3ΩC在H ρρ(ρ)中的变换关系，可得到带阻滤波器系统函数ρρρ p =ρρρ ρ |ρ=ρ02ρ(ρ2+ρ02)⁄ 由模拟带阻到数字带阻的变换 仍利用双线性变换P =C 1+z −1̅̅̅̅̅̅̅̅̅1−z −1模拟低通原型滤波器的ρ平面变换成数字带阻滤波器的ρ平面的表达式可得S=D1(1−ρ−1) 1−ρ1ρ−1+ρ−2从模拟低通系统函数Hρρ(ρ)，转换数字带阻系统函数HBR p=HLP s|S=D1(1−ρ−1)1−ρ1ρ−1+ρ−2数字带阻滤波器不能用脉冲响应不变法：原因是脉冲响应不变法有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通。
而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于带阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。