（ ｃ ） ＝ ２ 时 ， 必 有 ｒ ａ ｎ ｋ （ ｃ Ａ ） ２ ， 观 测 性 成 立 ； 当 ｒ ａ ｎ ｋ
ｘ ∈ Ｒ ， ｕ ∈ Ｒ ， Ｙ∈ Ｒ ， ｚ∈ Ｒ２ 妄∈Ｒ ， ｘ为被 测 状态
，
控制方法采用状态反馈控制 ， 增益矩阵为 Ｋ 。其 中， ， ｚ
为 观测状 态 ， 曼为 重构 状 态 ， ｖ为参 考 输入 ， ｕ为 实 际
ｉ （ ｃ ｃ ） 、 （ ａ ｕ ： ＋ 十 １ ． ２ ａ １ ２ ： ， ） ＝ 。
成 立 ； 或 者 合 同 于 （ ； ） ， 此 时 ，
０使
（ ｍｌ ａ １ １ ＋ａ １ ２
，
（ ） ３ 反馈 控制设 计
３ ． １ 受控 系统 能 控性 计算 从前 述 系统 结构 可 知 ， ∑ 不 影 响反 馈 控 制 ， 因 此， 进 行反 馈控 制 设计 ， 也 就是 控制 输 入 变 为 ｕ＝ 一
（ 兰州交通大学 ， 甘 肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）
摘
要： 针对二 维线性系统 ， 给出了能观测性 、 能控性简单判定 方法 ； 分 别给 出了状 态观测器和 反馈 控制 器的设计 方
法、 计算步骤 ； 并针对具 体算例 ， 进行 了镇定计算 。
关键词 ： 二 维系统 ； 状 态观测器 ； 反馈控 制器 ； 镇定算 法
第３ Ｏ卷 第 １ 期 ２ ０ １ ４年 １ 月
甘肃 科 技
Ｇａ ｎ ｓ ｕ Ｓｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎｄ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
Ｉ ｉ － ３ Ｏ
Ⅳ０ ． １
Ｊ ａ ｎ ． ２ ０１ ４
二维 线 性 系统状 态 反 馈镇 定算 法
许兰兰 ， 崔彦 良
中图 分 类 号 ： Ｔ Ｐ １ ３
状态 反馈 控制 功 能优 点 突 出 ， 要 实 现状态 反馈 ，
分条件 是 ：
１ ） Ｔ Ａ—Ｆ Ｔ＝Ｇ Ｃ； ２ ） Ｈ＝Ｔ Ｂ；
可 以根据输入 、 输 出信号重构系统状态 ， 再由此重构 状态构 成 反馈 控 制 。工 程 上 通 常采 用 卡尔 曼 滤 波 １ 进行状 态 估 计 ， 但 也 可 以考 虑 采 用 状 态 观 测
Ｉ ｃ ２ １ ａ Ｉ １ ｃ ２ １ ａ １ ２ ＋ ｃ ２ ２ ａ ２ ２ Ｊ ～ （ ＼ ｕ ｕ ／ 存
－ ｃ２ ４ ２ａ１ ２
：
Ｃｌ ｌ ａ ｌ ｌ ４ －ｃ１ ２ａ ２ １
Ｃｌ ｌ ａ ｌ ２ ＋ ｃ１ ２ ａ ２ ２
：
≠０ 、 Ｉ ２ ≠０ 使
２
Ｃ １
ｌ
Ｃ １
２
Ｃ ２
１
Ｃ ２
２
Ｃ ２
ｌ
Ｃ ２
２
Ｃ １
ｌ
Ｃ １
（ ｍ ２ ａ １ ２ ＋ ａ ｌ ｌ
（ ｒ ｆ ｌ １ ａ １ １ ＋ａ １ ２
、 Ｉｌ＿●－，
ｍ
ａ
１
必存在 Ｉ Ｔ Ｉ １ ≠Ｏ 、 Ｉ ｎ ２ ≠
ｍ
ａ
２
ｍ
ａ
１
ｍ
ａ
２
＋
、ｌ，
ＪＩ ＿ Ｉｌ
＋
、●，
、 ， Ｊｌ Ｉ－ －＼
＋
、●，
， ， Ｉ－ ＿ｌ ｔ 、 、
＋
、ｌ，
，ｆ ＿ ＩＩ － Ｉ、
Ｋ ｘ ＋ ｖ ， 使闭环系统 内部稳定 。 对于∑。 而言 ， 能控 条件为 ｒ ａ ｎ ｋ （ Ｂ Ａ Ｂ ）＝ ２ ， 与前述方法类似 ， 当ｒ ａ ｎ ｋ （ Ｂ ）＝ ２时， 能控性成立 ；
全能控制。
１ 结 构
二阶线性系统受控系统 ∑。 为：
ｖ：Ｃ ｘ ， ｘ （ ０ ）＿ｘ 。 ， ｛ ｒ ＝ Ａ Ｙ ＋ Ｒ ｌ １
设计状态观测器也就是要求保证 Ｔ ， Ｇ ， Ｆ ， Ｈ有 符合要求的解。那么， ∑ 。 完全能观测是首要条件， 需要首先确定 ； 而∑ 完全能控制 比较容易保证 。
（ ｋ １ ）ｃ １ １ Ｃ １ ２ 、
Ｉ
０ ） ｌ ＝ （ ｏ
２ １
２ ２
ｋ ２ ≠０ 使
成立。
ｃ １ ２ ） （ 同 理 ， 欲 使 ｒ ａ ｎ ｋ （ 芝 Ａ ） ＝ ２ 成 立 ， 必 有
图 １ 系统结构
２ 状 态 观 测 器 设 计
状 态 观 测 器 也是 一 个 二 阶线性 系统 ， 其 设计 充
・
基金项 目： 兰州交通大 学青 年科学基金项目（ ２ ０ １ ２ ０ １ ３ ）
第１ 期
许兰兰等 ： 二维线性系统状态反馈镇定算法 其中 为一个递增整数序列 ， 重新进行计算 。
６ ３
ｒ （ １ １ ｃ １ １ ＋ ｃ ２ １ ｌ １ ｃ １ ２ ＋ Ｃ ２ ２ ） Ａ＝ （ ０ ０ ）
器 进行 状态 重 构 。针 对 二 阶线 性 系 统 ， 提 出基 于状态 观测 器 的状态 反 馈 回路镇 定算法 。
３ ） Ｆ内部稳定 。 其 中条件 １ ） 西 尔 维斯 特 （ Ｓ ｙ ｌ ａ ｖ ｅ ｓ ｔ ｅ ｒ ） 方 程 有 非 奇 异解 阵 Ｔ的必要 条件是 ： ∑。完 全 能观 测 和 ∑ 完
２ ． １ 受控 系统 观测性 计算
状 态 观测器 为 同维线 性 系统 ∑ ：
对于二阶系统 ， 其观测性计算可以简单化。
｛ ｒ 妄 ＝ Ｆ Ｔ－ ｚ ＋ １ ｚ Ｇ ｖ ＋ Ｈ ｌ 】 ， ｚ （ ｏ ）－Ｚ 。 ，
－
＿
若 Ａ ： ｔ ］ ＇ Ｃ ＿ ｑ 么 当 ｍ ｎ ｋ ａ ２ ， ａ ２ ２ １ Ｃ ２ １ ｃ ２ ２ １
输入 ， Ｙ 为标准输 出； ｚ ｘ 。 为任 意初始状态。系统 结 构如 图 １ 所示。
ｃ （ ｃ ） ＝ １ 时 ， 有 ｆ ｌ Ｉ ｑ Ｃ ２ １ Ｃ ２ ２ ］ 』 卜 ～ （ １ ＼ １ Ｕ Ｕ １ ， 即 ： 存 在 ｋ 。 ≠ 。 ｏ 、