10
曲率为：

d ( x) 1 1 ( ) 1 ( ) 2 dx l l
(3.6)
将节点的位移列阵记为：
qe 1 1 2
2
T
(3.7) (3.8) x ) qe
1 1 B b 0 0 l l
ui(1) ui O(h 2 ) 4 (2) 2 ui ui O((h / 2) )
ui(1) ui O(h s ) (2) ui ui O((h / 2) s )
(2.2)
（2.3）
(2.4)
可由此估计出准确解：
1 ui (4ui(2) ui ) 3
由有限个单元的试函数来逼近整体域的场函数所引起的误差，即离散 误差。
6
2.2提高精度的ｈ方法和ｐ方法
（１）ｈ方法（h-version）:不改变各单元 上的形状函数，只通过渐渐加密有限元的 网格使结果趋于准确解 （２）ｐ方法（p-version）:同ｈ方法相反 ，它是不改变单元网格，而采用较高阶的 多项式来进行插值。
7
3.有限元的单元特征及剪切闭锁的产生
Timoshenko梁单元的剪切闭锁现象 Mindlin板单元的剪切闭锁现象 块体单元的闭锁现象
=F, x
F F , y x y
解：
(4.15)
y 0 y

xy
x 0 x
(3.12)
其中单元的刚度阵由剪切和弯曲变形刚度阵组成

Ke Ks Kb
(3.13)
12
13
3.2Mindlin板单元
G 2 A r 2 dx
14
15
3.3 块体单元
以如图3.2悬臂梁的静力分析为例来说明块体的剪切闭锁现象
图3.2 在自由端受到点载荷P的悬臂梁
(4.8)
35
设F(x,y)是双调和函数，满足双调和方程：
其中： 则下列为上式微分方程的解：
F
22 F 0
2 2 2 2 2 x y
D 2 F F F , x , y C x y
(4.9)
(4.10)
设 l 是一个特征长度。引入无量纲坐标 ， ：
8
3.1 Timoshenko梁单元
当梁不是细长梁时，梁变形后的横截面垂直于中性层的假设不再成立（ Kirchhoff假设）这时需要考虑梁的剪切变形，考虑剪切变形的几何描 述如图3.1所示。
变形前的截面 变形后的截 面 变形前的截面 中性层 垂直于中性 层的截面
γ
中性层
β dω/dx (a)变形前 (b)变形前
图2.1 有限元分析结果的收敛情况（纵坐标是总势能）
5
还可以就两次网格划分所计算的结果进行外推以估计结果的准确值如 第一次网格划分的结果是 ,然后进一步将各单元尺寸减半进行网格划 分,得到结果为 .假设该单元的收敛速度是 ,则其准确解可以按如下方 法估计:
具体对平面3节点三角形单元有s=2，上式可化为：
曲率为：
Bb ( x ) q e
1 1 B b 0 0 l l
B b 为曲率几何矩阵
(3.11)
11
将上式代入得到单元势能泛函：
e 1 eT b e 1 eT s e q K q q K q P eT q e 2 2


1 eT e e q K q P eT q e 2
(4.11)

,
x l
y l
(4.12)
36
代入得到:
l 如果 h 0
D h2 2 Cl 5(1 )l 2
2 2 F 2 2 F
(4.13)
(4.14)
0 ,则厚板理论的解析解退化为薄板理论的解析
l 1 2 l2 l l GA GA 2 3 K s ( B s )T B s dx 0 l l 1 2 l l2 6 2
0 0 0 1 0 0 0 1
1 l 2 l 2 l2 6 0 l2 3

d dx
N1 ( x ) (1
x x ), N 2 ( x ) l l
（3.4） （3.5）
由（3.1）可得到剪应变为：

d( x) 1 1 x x ( x ) ( )1 ( )2 (1 ) 1 ( ) 2 dx l l l l
3
有限元分析的误差
结构体由于本身存在有自然的连接关系即自然节点,所以它们的离散化 叫自然离散 人为的在连续体内部与边界上划分节点,以单元连续的形式来逼近原来 复杂的几何形状,这种过程叫逼近性离散(approximated discretization) 控制误差的h方法（h-version ,h-method）和p方法(p-version ,pmethod)。
(4.1)

(4.2)
1 l 2
23
剪切应变能的表达式:
具体的有一点积分得到的
Ur
1 eT s e q K q 2
(4.3)

l 1 2 l2 l GA 2 4 Ks l l 1 2 l l2 4 2
1 l 2
1 l 2
l 2 2 l 4 0 l2 4
方法II (, ) 从假设 入手 方法Ⅲ ( , )从假设 入手
2.块体问题 将在缩减积分详细介绍
22
4.1 缩减积分法、选择性缩减积分法、非协 调元

0 0 l EI 0 1 K b ( B b )T EI B bdx 0 l 0 0 0 1
19

图3.6 8节点的六面体单元
20
4 剪切闭锁的对策
1.板（梁）问题
x 厚板理论挠度和转角是独立位移 y
x y 0 而剪应变 0 y x

21
方法I (, ) 从假设 入手
16
梁为150mm长， 2.5mm宽， 5mm高；一端固定；自由端承受5N的 末端荷载。材料的杨氏模量E为70GPa，泊松比为0.0。采用梁的理论 ，在给定载荷P作用下，梁末端的挠度为 (3.22) 其中I = bd3/12， 是长度，b是宽度，d是梁的高度。P = 5N时末端挠 度是3.09mm。
图3.1 具有剪切变形影响的梁变形
9
设剪切变形为 ，则
（3.1） 设单元的总挠度函数 和截面转角函数 的单元插值模式为（线性插值 ）： ( x) N1 ( x)1 N2 ( x)2 （3.2） ( x) N1 ( x)1 N2 ( x)2 （3.3）
( 其中 ( x)，x) 分别为单元节点1和2的挠则
4
2.1 求解精度的估计
在这里我们考察平面单元的求解精度与收敛速度，单元的位移场 可 以展开为以下级数： u u (2.1) u ui ( )i x ( )i y
x
y
对于满足完备性（completeness）和协调性（compatibility）要求的 协调元，当 时，有限元分析的结果是单调收敛的如图(2.1)
在厚板平衡微分方程中，如果将内力改用位移表示，就得到厚板位移 法的基本微分方程。考虑载荷为零时的齐次问题，则有：

2 x 1 2 x 1 2 y D( 2 ) C( x ) 0 2 x 2 y 2 xy x 1 2 1 2 y 2 y x ) C( y) 0 D( 2 2 2 xy 2 x y y 2 2 C( 2 2 )0 x y x y
(4.4)
24

图4.1
25

将(4.6)代入（4.5）的到
K1s qe 0
(4.7)
26
27
图４.2 使用缩减积分的二维单元中的积分点
28
单元 CPS4R CPS8R C3D8R
表4.1 使用缩减积分单元的梁挠度的归一化结果
网格尺寸 (高度 x 长度)
1x6 20.3* 1.000 70.1* 2x12 1.308 1.000 1.323 4x12 1.051 1.000 1.063 8x24 1.012 1.000 1.015
论文题目：
有限元法剪切锁闭现象的研究
专 业：工程力学 答辩人：徐 鹏 导 师：李欣宇
武汉科技大学理学院 2007年6月16日
答辩提纲
课题背景及任务 有限元分析的误差 有限单元特征及剪切闭锁产生 剪切闭锁的对策 结论及下一步工作 致谢
2
课题背景及任务
当梁不是细长梁时，梁变形后的横截面垂直于中面的假设不再成 （Kirchhoff假设）立，需考虑剪切变形的影响，于是Timoshenko提 出了剪切变形的梁理论，如果对扰度函数与转角函数进行独立插值， 且考虑剪切变形的影响，构造出的单元为Timoshenko梁单元 （Timoshenko beam element）。此单元在退化为细长梁单元时，会 导致剪切闭锁现象。经典薄板理论以Kirchhof假设为基础，忽略了横 向剪切的影响，故计算结果与实验值相比，总是低估了挠度，高估了 自然频率。由于横向剪切变形对厚板及复合材料的板单元影响较大， 故忽略剪切变形的薄板理论已不再适用，于是Mindlin等人提出了板的 剪切变形理论,以此构造出的为Mindlin板单元（Mindlin plate element）。与Timoshenko梁单元类似，当板很薄时，会发生剪切闭 锁与零能模式。对于块体，由于形函数的阶数过低，而单元受到复杂 应力作用，如产生弯曲扭转等，导致形函数不能真实表达。本文讨论 剪切闭锁产生的原因，与对策。