( 2 ) lim x sin
x→∞
2 = 2 lim x→∞ x
sin 2 x
2 x = 2.
1 2 x 1 + x −1 2 = 1. (3) lim = lim 2 x →0 x →0 x tan x 2 2
ln(1 + x 2 )(e x − 1) x2 ⋅ x (4) lim = lim = 1. x →0 (1 − cos x ) sin 2 x x →0 1 2 x ⋅ 2x 2
x →∞
1 3 lim 1 + ）x （ x →∞ x
x
x →∞
x
例十三、求极限 lim 1 + 2 x） （ x →0 1 1 解： ×2 x 2x
lim 1 + 2 x） = lim(1 + 2 x) （
x →0 x →0
1 x
= e2.
例十四、求极限 解： 2
2 x （ lim 1 + ）+3 x →∞ x
例五、求极限 解： 2
lim
x →0
x2 − x lim 3 x →0 x + 2 x
x −x x( x − 1) x −1 1 = lim = lim 2 =− . x 3 + 2 x x → 0 x ( x 2 + 2) x → 0 x + 2 2
lim
x →1
例六、求极限 解： x+3 −2
lim
ln(1 + x 2 )( e x − 1) 例十九、求极限 lim x → 0 (1 − cos x ) sin 2 x
解：因为 1 − cos x ~ 1 x 2 ; e x − 1 ~ x; ln(1 + x 2 ) ~ x 2 ; sin 2 x ~ 2 x.
2
所以
ln( 1 + x 2 )( e x − 1) x2 ⋅ x lim = lim = 1. x → 0 (1 − cos x ) sin 2 x x→ 0 1 x2 ⋅2x 2
二、解：要使函数在x=0处极限存在，必须使
sin πx a − 2 = lim = π，即a = π &43;3 −2 x −1
x −1
= lim
( x + 3 − 2)( x + 3 + 2) 1 1 = lim = . x →1 x →1 ( x − 1)( x + 3 + 2) x+3 +2 4
课题三、极限的计算方法
x2 − 4 例七、求极限 lim x →∞ 2 x 2 − x
4 x2 − 4 解： x2 = 1 . lim = lim x→ ∞ 2 x 2 − x x→ ∞ 1 2 2− x 1−
=−
1 2
例三、求极限 lim cos x − 1 x →π x 解： cos x −1 −1 −1 2 lim = =− x→π x π π
课题三、极限的计算方法
约去零因子法：
例四、求极限 解： x2 − 4
lim
x →2
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x2 − 4 lim x →2 x − 2
x−2
= lim
( x − 2)( x + 2) = lim( x + 2) = 4. x →2 x →2 x−2
x 2 2 ×2 2 x lim 1 + ）+3 = lim (1 + ) • (1 + ) 3 = e 2 . （ x →∞ x →∞ x x x
课题三、极限的计算方法
关于无穷小的极限
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定义：极限为0的变量称为无穷小(量)。(0是特殊的无穷小) 定义 性质:(1)有限个无穷小的和为无穷小； (2)有界函数与无穷小的积为无穷小。 例十五、求极限 lim sin 3 x
二、设函数
1 sin πx , x < 0 f ( x) = x a − 2, x ≥ 0
问a为何值时，函数在x=0处的极限存在。
课题三、极限的计算方法
提高题（解析）
一、求下列极限： 解： 1 − cos 2 x
（1） lim
x→0
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x2
2
(2 x) 2 = lim 22 = 2 . x→0 x
x→ ∞
x
解：由性质（2）知 例十六、求极限
lim
lim
sin 3 x = 0. x→∞ x
x − sin x x →∞ 2 x + cos x
1−
sin x x 解：先变形再求极限：lim∞ x − sin x = lim∞ cos x = 1 . x→ 2 x + cos x x → 2 + 2 x
例十八、求极限 lim tan x − sin x 3 x →0
x
1 解：因为当 x → 0 时， − cos x ~ 1 2 x ; tan x ~ x . 2
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1 2 x⋅ x tan x − sin x tan x(1 − cos x) 所以 lim 2 = 1. = lim = lim 3 3 x →0 x →0 x →0 x x x3 2
课题三、极限的计算方法
代值法：
例一、求极限 lim( x 2 − 2 x + 3) x →1 解： lim( x 2 − 2 x + 3) = 12 − 2 ×1 + 3 = 2.
x →1
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例二、求极限 解： x2 −1 0 −1
lim
x →0
x2 −1 lim x→ 0 x + 2
x+2
=
0+2
课题三、极限的计算方法
等价无穷小替换求极限
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利用等价无穷小替换能较方便求出某些较复杂的极限。 常用的等价无穷小（ x → 0 ）
sin x ~ x tan x ~ x ln(1 + x ) ~ x arctan x ~ x 1 − cos x ~ 1 2 x 2 1+ x −1 ~ 1 x ex −1 ~ x 2
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无穷小分出法：
例八、求极限 lim x →∞ 解：
lim
x→∞
2x − 3 − x 3x + 1 + x − 5
2x − 3 − x = lim 3 x + 1 + x − 5 x→∞
2− 3+
3 −1 x
1 5 + 1− x x
=
2 −1 . 3 +1
课题三、极限的计算方法
重要极限：lim
例九、求极限 解： sin 2 x
lim
x→0
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sin x =1 x
lim
sin 2 x x →0 3x
sin 2 x 2 2 × = . x →0 x →0 3x 2x 3 3 例十、求极限 lim tan 3x x →0 x = lim
解：
lim
tan 3 x sin 3 x 3 3 = lim × = 1 × = 3. x →0 x →0 x 3x cos 3 x 1
例十一、求极限 解： sin x
lim
x→
lim
x→
π
2
sin x 2x
π
2
2x
=
1 2×
π
2
=
1
π
.
课题三、极限的计算方法
x 重要极限： lim 1 + 1 ） = e或 lim(1 + x) x = e. （ x →∞ x →0 x 1
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例十二、求极限 解： lim 1 + 1 ）x = [lim(1 + 1 ) x ]3 = e3 . 3 （
课题三、极限的计算方法 提高题
一、求下列极限：
（1） lim 1 − cos 2 x x→0 x2 ( 2) lim x sin
x→∞
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2 x
1+ x2 −1 (3) lim x→0 tan x 2
ln(1 + x 2 )(e x − 1) ( 4) lim x → 0 (1 − cos x ) sin 2 x
说明：做等价替换时，只能对分子或分母进行整体代换。 例十七、求极限 lim 1 − cos x 2
x→ 0
2x
解：因当 x → 0时，− cos x ~ 1 所以
1 2 x 2
1 2 x 1 − cos x 1 2 lim = lim = . 2 x→ 0 x→ 0 2 x 2 2x 4
课题三、极限的计算方法