章末归纳总结
一、选择题
1．已知a ＋b ＞0，b ＜0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系为( )
A ．a ＞b ＞－b ＞－a
B ．a ＞－b ＞－a ＞b
C ．a ＞－b ＞b ＞－a
D ．a ＞b ＞－a ＞－b [答案] C
[解析] ⎭
⎪⎬⎪
⎫a ＋b ＞0⇒a ＞－b b ＜0⇒－b ＞0⇒a ＞－b ＞0⇒－a ＜b ＜0.∴选C. 另解：可取特值检验．
∵a ＋b >0，b <0，∴可取a ＝2，b ＝－1，∴－a ＝－2，－b ＝1，∴－a <b <－b <a ，排除A 、B 、D ，∴选C.
2．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )
A.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≤－1，或x ≥92 B.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤92 C.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≤－92或x ≥1 D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－92≤x ≤1 [答案] D
[解析] 解法1：取x ＝1检验，满足排除A ；取x ＝4检验，不满足排除B ，C ；∴选D. 解法2：直接求解化为：
2x 2＋7x －9≤0，即(x －1)(2x ＋9)≤0，∴－92
≤x ≤1. 3．(2014·安徽理，5)x , y 满足约束条件
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.
若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )
A.12
或－1 B ．2或12 C ．2或1
D ．2或－1
[答案] D
[解析] 本题考查线性规划问题．
如图，z ＝y －ax 的最大值的最优解不唯一，即直线y ＝ax ＋z 与直线2x －y ＋2＝0或x ＋y －2＝0重合，∴a ＝2或－1.
画出可行域，平移直线是线性规划问题的根本解法．
4．(2013·福建文，7)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )
A ．[0,2]
B ．[－2,0]
C ．[－2，＋∞)
D ．(－∞，－2]
[答案] D
[解析] ∵2x ＋2y ≥2
2x ＋y ， ∴22x ＋y ≤1， ∴2x ＋y ≤14
＝2－2， ∴x ＋y ≤－2，故选D.
5．a ＞0，b ＞0.不等式－b ＜1x
＜a 的解集为( ) A ．{x |x ＜－1b 或x ＞1a
} B ．{x |－1a ＜x ＜1b
} C ．{x |x ＜－1a 或x ＞1b
} D ．{x |－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1a } [答案] A
[解析] ∵b ＞0∴－b ＜0，又a ＞0，∴不等式－b ＜1x ＜a 化为－b ＜1x ＜0或0＜1x ＜a .∴x ＜－1b
或x ＞1a
. ∴选A.
6．当x ∈R 时，不等式kx 2－kx ＋1>0恒成立，则k 的取值范围是( )
A ．(0，＋∞)
B ．[0，＋∞)
C ．[0,4)
D ．(0,4)
[答案] C
[解析] k ＝0时满足排除A 、D ；
k ＝4时，不等为4x 2－4x ＋1>0，即(2x －1)2>0，显然当x ＝12
时不成立．排除B ，选C. 二、填空题
7．不等式x ＋1x
≤3的解集为________． [答案] {x |x <0或x ≥12
} [解析] x ＋1x ≤3⇔x ＋1x －3≤0⇔2x －1x ≥0⇔x (2x －1)≥0，且x ≠0⇔x <0或x ≥12
. 8．已知：a 、b 、x 、y 都是正实数，且1a ＋1b
＝1，x 2＋y 2＝8，则ab 与xy 的大小关系是________． [答案] ab ≥xy
[解析] ab ＝ab ·(1a ＋1b
)＝a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≥4，等号在a ＝2，b ＝2时成立，
xy ≤x 2＋y 22
＝4，等号在x ＝y ＝2时成立，∴ab ≥xy . 三、解答题
9．设a 、b 、c 为△ABC 的三条边，求证：a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ca )．
[解析] ∵a 、b 、c 是△ABC 的三边，
不妨设a ≥b ≥c >0则a >b －c ≥0，
b >a －
c ≥0，c >a －b ≥0.平方得：
a 2>
b 2＋
c 2－2bc ，b 2>a 2＋c 2－2ac ，c 2>a 2＋b 2－2ab ，
三式相加得：0>a 2＋b 2＋c 2－2bc －2ac －2ab .
∴2ab ＋2bc ＋2ac >a 2＋b 2＋c 2.
10．m 为何值时，关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根：
(1)都大于1；
(2)一根大于2，一根小于2.
[解析] 设方程的两根分别为x 1、x 2.
(1)由题意，得⎩⎨⎧ Δ≥0
x 1＋x 2>2(x 1－1)(x 2－1)>0
，
即⎩⎪⎨⎪⎧ (m －1)2－32(m －7)≥0m －18>2
m －78－m －18＋1>0，
∴⎩⎨⎧ m ≤9或m ≥25
m >17
m ∈R ，
∴m ≥25.
(2)由题意，得⎩⎨⎧ Δ>0
(x 1－2)(x 2－2)<0， 即⎩⎨⎧
(m －1)2－32(m －7)>0
m －78－2(m －1)8＋4<0， ∴⎩⎨⎧ m <9或m >25
m >27，
∴m >27.。