T2
T1
A
W
1 3
2
T1 A
T2 W
1.3 力对点之矩、力偶
1.3.1 力对点之矩
1、力矩 力矩（力×力臂）：力使物体绕O点转动的效应 m0 (F) F d
力矩（力×力臂）
m0 (F) F d
⑴力矩的大小力F和O点的位置有关 d=0→M=0 F=0→M=0 ⑵力沿作用线移动力矩不变
汇交力系可以合成一个力， 力偶系可以合成一个合力偶
平面力系向一点简化
y F1
F4
o
F2 F3
A
x
F5
汇交力系(合力)
平面力系
力偶系(合力偶)
平面任 (合力) 意力系 (合力偶)
简化
1.4 .1、力的平移定理
作用在刚体上的力向刚体上任一点平移后需附加一力偶， 此力偶的矩等于原力对该点的矩
等效
力的平移（螺栓组联接受力分析） F M
竖直平面V：作用力Fr、 Fa
k
支反力 RA′ 、 RB′ 水平面H： 作用力Ft
j A
Fr
支反力 RA″ 、 RB″
若齿轮对称布置（中点），半径为r， 求支反力RA 、 RB 解：先分别求得分力，再合成
⑴∑Fy=0 RA′ + RB′ =Fr
∑MA=0 2aRB′ =aFr+rFa
∑Fx =0 RB =Fa
G+Pδ
M=6H
Pcosα
T2
Psinα
T= 100T2
各杆为二力杆
T2 sin45°=Q T2 =Rcos30° Q：R=sin45°cos30°1
=0.61 4
1.4 . 2 平面力系向一点简化 平移 + 合成
一个合力（主矢）和一个合力偶（主矩）
例：作用于刚体上的均匀分布载荷（主动力）的简化
q (N/M)
R
均布载荷 q
集中载荷 R
为什么没有力偶?
R=ql
二 平面力系的平衡方程及应用
目的 求解平面力系中的约束反力 F
第一种形式
M
R′=0
平面力系的平衡条件
2 柔索：沿拉直方向
3 光滑圆柱铰链：作用线与轴线相交
4 可动铰链支座：限制垂直支撑面运动
5 固定端约束：力和力矩
集中力：集中作用于一点的力 分布力：分布在有限面积或体 积内的力
分布力可以用集中力来代 替,作用效果相同
水库堤坝
qa
1.1.3 物体的受力分析.受力图
1 受力图 受力图——在受力体(分离体)上画出主动力和周围
二 、平面力偶系
1 、力偶的性质 性质一：
推论：力偶可在作用面内任意移 动而不影响对刚体的作用
力偶不能简化为一合力、
不能用一个力来平衡， 对刚体只有转动效应。
性质二：力偶对其作用面内任意点的力偶矩相同
M= - Fd
M= - Fd1- Fd2= - Fd M= Fd3 - Fd4= -Fd
力偶符号： M
矩为m的力偶和集度为q的均布 载荷,求支座A、B的约束力。
解：以为AB梁研究对象，画受力图，列出平衡方程
∑mA（F）=0 ， ∑Y=0 ，
∑X=0 ，
2aRBcos45°－m－qa·a／2=0 Y A － qa + RBsin45°=0 X A － RBcos45°=0
解得：
X A =（2m+qa2）／4a
静力学：不考虑力对物体运动的影响。 （平衡、传递、应力、应变）
三. 平衡的概念
1、 二力平衡条件 大小相等,方向相反,作用于一直线
※ 二力平衡条件不同于作用力与反作用力相等（为什么？）
★ 二力构件:
在两个力作用下处于平衡 的构件
2、不平行的三力平衡条件
三个力的作用线必须汇 交于一点,三力矢量首尾 相连构成封闭三角形
R= F1 + F2 + F3 + F4
R
Rx2

R
2 y
tg Rx
θ
Ry
力系F1 、 F2 、 F3 、 F4 合成为力R
R
Rx2

R
2 y
tg Rx
Ry 合力投影定理：
合力在某轴上的投影等于各分力在该轴上投影的代数和
Rx X1 X 2 X3 X 4 X Ry Y1 Y2 Y3 Y4 Y
轴上带轮和圆锥齿轮上分布作用有 集中力，怎样求解A、B点的支反力？
2、空间力系的平衡
平衡条件： F=0， M=0。 Fx=0， Fy=0， Fz=0， Mx=0， My=0， Mz=0 。
利用空间力系的平衡来求解支反力
k jR

斜齿轮的受力（三个分力）为空间力
Fr
空间力系
平面力系 i
F13+ F23 +W = 0
矢量多边形方法
F13为封闭矢量
F13
W
F23
画受力图的步骤：p7 1）画出研究对象 2）画出主动力 3）画出约束反力 4）画出物体间的相互作用力
关键：找出二力杆 注意：每个物体分离出来画
2 1
3
F13
W F23
例2 ： 杆件无重，滑轮半径可忽略，
1
+=，求杆的受力。
L0 =0
第二种形式
R B A
0
x
A、B、三点不在同一直线上
三 平面平行力系的平衡方程
第一种形式
各力相互平行
第二种形式
例： 忽略杆件重量 求铰链A的约束力和杆CD的受力。F23
FB
解：
1）受力体3 2）画出已知的力要素
F13 F13
3）写出矢量方程
F23
4）作图求解
FB+F13+F23=0
FA =F13
Ft2
Ft1
若角度改变，杆2也可能是拉杆（红色）
A
Ｃ
Ｄ
C
Ｗ
Ｐ
B
cB
AＤ
c
c
Ｂ
Ｑ
Ｈ
Ｆ
Ｐ
Ａ
G
Ｄ
E
ＣC
E
c
D
Ａ
B
B Tb
O
R
W C
Tc Fa
F 习题1.6
提示:
习题2.1
Fb Fc
⑴作矢量多边形可求合力R
⑵利用竖直方向平衡条件求θ
sinθFa=sin10°Fb + sin45°Fc
1.2 平面汇交力系
100 B
Fr Fa
若已知图中Fr=2000N，Fa=700N， Ft=2400N，求A、B的支反力
A
RA′
结果： RA ′ =1100 N； RB ′ =900 N
RA ″ =1600 N； RB ″ =800 N
RA =1942 N RB =1204 N
（ T=120Nm） A RA″
RB′ B Ft
2 4
解：滑轮(4)为受力体作力图
忽略滑轮半径后各力汇交
用矢量多边形图解法
3
Ft1+Ft2+F34+F24=0求得 F34 和 F24 方向：y y y y ？两个未知数
大小：y y n n
一个矢量方程可解两个未知数
F34
根据作用力和反作用
力关系得杆件受力
F24
杆2是压杆,杆3是压杆（黑色）
Ft1 Ft2
多个力（力系）的平衡也能 构成封闭三角形
1.1.2 约束与约束力
自由体：运动不受其他物体的限制 （约束）非自由体：（轨道上的机车、
风扇叶片……）
约束： 对物体运动的限制，
通过施加约束力来实现。
物体受力分为两类： 主动力（载荷） 约束（反）力
静力分析任务之一：确定未知约束力
理想约束：光滑面、柔索、光滑圆柱铰链 … ★ 常见约束力的性质、作用点与作用线 1 光滑面：作用点在接触点，作用线沿公法线
即 F3通过O。
o
o F1
受力体系2-3
F1
外力作用点
1
2
外力作用线
F2
F′
3（机架）
F2
F3
例1：A、B、C是圆柱铰链， 角ABC为30度，杆件无重量 解：1）杆2为二力杆，受拉
2 13
得F12F32作用线与指向 F23 作用线与指向
2）杆3受汇交三力， 得F13 作用线与指向
3）杆3为受力体，有（平衡可不讲）
得：RBX =136.36N 由FX=0得： RAX =113.64N
YOZ面上, FZ=Fnsin 由MA=0 RBZ (a+b)-FZa=0
得： RBZ =49.63N 由FZ=0 得： RAZ =41.36N
FX
RAX FZ
RAZ
RBX RBZ
注意区分铰链类型及其支反力方向
P
W
M
P
平面汇交力系：各力的作用线在同一平面且 汇交于 一点的力系 力系的合成（简化）： 用最简单的结果来代替原力 系对刚体的作用
R
合成 1 几何法——力多边形法 R=∑F 平行四边形 方法 2 解析法——坐标投影法 Rx= ∑Fx
Ry= ∑Fy
1.2.1 几何法 力系F1 、 F2 、 F3 、 F4合成为力R
2、合力矩定理 mo (R) mo (F)
平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于力系中 各力对该点之矩的代数和
1.3.2 力偶系
1、力偶和力偶矩 力偶：等值、反向、作用线平行的两个力。
力偶的作用面：两作用线确定的平面 力偶臂：两作用线的距离d
力偶的矩= F·d
顺时针 （－） 逆时针 （＋）