在位移法中，只有{δ}是未知的，求解该线性方程组就可得到各结点 的位移。将结点位移代入相应方程中可求出单元的应力分量。 有限元法不仅可以求结构体的位移和应力，还可以对结构体进行稳定 性分析和动力分析。例如，结构体的整体动力方程 ： [M]{δ}+[C]{δ}+[K]{δ}={F}
[M]——整体质量矩阵；[C]——整体阻尼矩阵； [K]——整体刚度矩阵； {δ}——整体结 点位移向量； {F}——整体结点荷载向量。
节点位移
ui v i u j v j u m v m
节点力
U i V i U j V j U m Vm
e
F e
取决于材料性质、形状、尺寸
有限元法
学院：机械电子工程学院 专业：机械制造及其自动化 姓名：李淑磊 班级：17-1班 学号：201782050009
• 一、有限元法的概念 • 二、基本计算步骤 • 三、发展与应用
基本思想
一、几个基本概念
• 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所 组成的组合体，简称离散化。 • 这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为节点。 • 离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元 与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种 联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发 生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。 • 通过结点来传递的内力称为节点力，作用在结点上的荷载 称为节点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成 它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程 度的位移，这种位移称为节点位移。
焊接过程的温度分布与轴向残余应力
结构与焊缝布置
有限元方法的应用
• BMW曲轴的感应淬火 （用SysWeld软件完成）
ห้องสมุดไป่ตู้
有限元方法的应用
• 复杂形状工件的组织转变预测（石伟，用NSHT3D 完成）：预测工件的组织分布和机械性能
二分之一工件的有限 元模型 淬火3.06 min 时的温度 分布
淬火3.06 min 时的马 氏体分布
求出结构的自激振动频率、振型等动力响应，以及动变形和动应力 等。
4. 求解未知节点位移
可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。 传统有限元分析的数值计算方法之中，有直接计算 法（Direct Solver）与迭代法（Iterative）两种。 由于在过去的经验中，迭代法一直无法直接而有效 的保证数值计算的收敛性，因此，直接计算法在多 数有限元素分析软件中，仍然是一种主流的计算方 法。
2) ( 2) σ( 106 ×(-6.667) × 10-4 = - 6667 (磅 / 英寸) 2 el = Eε el = 10 ×
三、有限元法的发展与与应用
在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞 机，所有的设计制造都离不开有限元分析计算， FEA在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重 视。 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大 量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析 程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局 （NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝 尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系 统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世 界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。
• 目前应用较多的通用有限元软件如下表所列：
软件名称
MSC/Nastran
简介
著名结构分析程序，最初由 NASA研制
MSC/Dytran
MSC/Marc ANSYS
动力学分析程序
非线性分析软件 通用结构分析软件
ADINA
ABAQUS
非线性分析软件
非线性分析软件
• 另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例 如金属成形分析软件Deform、Autoform。
弹性体
有限元模型
有限元法的基本计算步骤
3. 单元组集
利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按 原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程。 对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载 荷与结点位移的关系，以解出节点位移，这个过程 为整体分析。
Pi y Pi x
i节点的节点力：
(1) (2) (3) ( e) Fix Fix Fix Fix e
• 其他的应用还包括： 电磁学、流体力学、电磁场等等等等等 等等等等…………………
发展趋势：
1、从单纯结构力学计算发展到求解许多物理 场问题
有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来， 逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实 践证明这是一种非常有效的数值分析方法。 有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁 场、渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求 解几个交叉学科的问题。
单元节点力
(1) (2) (3) (e) Fiy Fiy Fiy Fiy e
集中力
i节点的平衡方程：
(e) x F P ix i e (e) y Fiy Pi e
3. 单元组集
最终，将所有单元组合起来得到整体的方程： [K]{δ}={R}
[K]——整体刚度矩阵； {δ}——全部结点位移组成的列阵； {R}——全部结点荷载组成的 列阵。
Ka 0 u1 F1 K a F2 K a K a K b K b u 2 F 0 u K K b b 3 3
F = 10000 磅
例子：
面积 A = 1.5 英寸2 弹性模量 E = 10×106 磅/英 寸2 面积 A = 2.0 英寸2 弹性模量 E = 10×106 磅/英寸
2. 单元特性分析
① 分析单元的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数 目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点 位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。 此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方 程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚 度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。
平面问题的三角形单元的例子：单元有三个结点I、J、M， 每个结点有两个位移u、v和两个结点力U、V。
e e e F K 位移法：选择节点位移作为基本未知量称为位移法；
③ 计算等效节点力：将外在的负载力等效到各个节点上。 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递 到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元 的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在 单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移 到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在 单元上得力。
2
L = 10 英寸YIN
L = 10 英寸
1、建立结构有限元模型
L=10英寸 A=1.5英寸2
结点 3#
单元 ②
结点 2# L=10英寸 A=2.0英寸2 单元 ①
结点 1#
2、形成单元刚度矩阵
3、总装刚度矩阵
4、施加边界条件
5、施加作用载荷
6、求解矩阵方程
7、计算单元应力
(el1)
(el2)
有限元法的基本计算步骤
物体离散化 单元特性分析
分析单元的力学性质 选择位移模式 计算等效节点力
单元组集 求解未知节点位移
1. 物体离散化
– 单元选择：应根据连续体的形状选择最能完满地描述 连续体形状的单元。常见的单元有：杆单元，梁单元， 三角形单元，矩形单元，四边形单元，曲边四边形单 元，四面体单元，六面体单元以及曲面六面体单元等 等。 – 单元划分：进行单元划分，单元划分完毕后，要将全 部单元和结点按一定顺序编号，每个单元所受的荷载 均按静力等效原理移植到结点上，并在位移受约束的 结点上根据实际情况设置约束条件。
L u 2 u1 0.005 0.0 0.0005 L L 10
L u 3 u 2 0.01167 0.005 0.0006667 L L 10
1) (1) σ( 106 ×(-5) × 10-4 = - 5000 (磅 / 英寸) 2 el = Eε el = 10 ×
非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工 程技术人员所掌握。为此近年来国外一些公司 花费了大量的人力和投资开发诸如MARC、 ABQUS和ADINA等专长于求解非线性问题的 有限元分析软件，并广泛应用于工程实践。
3、增强可视化的前置建模和后置数据处理功 能
随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机 运算速度的飞速发展，整个计算系统用于求解 运算的时间越来越少，而数据准备和运算结果 的表现问题却日益突出。 在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个 方程的有限元模型只需要用几十分钟。工程师 在分析计算一个工程问题时有80%以上的精力 都花在数据准备和结果分析上。
Fe K e e
② 选择位移模式：在反映力和位移的关系式中，依据那一 个量是未知量，可建立不同的模型。
力法：选择节点力作为基本未知量时称为力法； 混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基 本未知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法 中位移法应用范围最广。
• • • • •
单元 节点 节点力 节点荷载 节点位移
• 在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并 对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单 的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利 用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点 力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点 位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移 分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场 函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求， 那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元 的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终 将收敛于精确解。
3维实体的4面 体单元划分