高一数学3月阶段测试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量(2,3),(3,2)a b ==，则||a b -= （ ） A ．2 B ．2 C ．52D ．502．已知向量,a b 的满足||1,1a ab ==-，则(2)a a b -= （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．03．已知单位向量,a b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是 （ ） A ．2a b +B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -4．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = （ ）A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +5．已知非零向量a ，b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为 （ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π66．设20πθ<<，向量()()θθθcos 1cos sin 22，，，b a =，若b a //，则=θtan （ ）A ．0B ．13C ．12D ．2 7．在ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PC PB PA PC ⋅=⋅=⋅,则点P 是ABC 的（ ）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心8．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,AB BC AD CD BAD ⊥⊥∠=1,AB AD ==若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ） A ．3B ．32 C ．2116D ．2516BCDE二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．已知向量(1,2),(,1)a b λ=-=，记向量,a b 的夹角为θ，则 （ ） A ．2λ>时θ为锐角 B ．2λ<时θ为钝角C ．2λ=时θ为直角D ．12λ=-时θ为平角 10．设,,D E F 分别是ABC ∆的边,,BC CA AB 上的点，且12AF AB =，13BD BC =， 14CE CA =，若记,AB m AC n ==，则 （ ）A ．34BE m n =-+B ．1223EF m n =+C ．2133AD m n =+ D ．25312DE m n =- 11．已知2||||1,3OA OB AOB π==∠=,点C 在AOB ∠内且030AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，其中,m n R ∈，则 （ ） A ．2n OC OA m ⋅=+ B ．2m OC OB n ⋅=-+C ． 0OC OB ⋅=D ．2m n =12．已知OAB 的顶点坐标为(0,0)O ,(2,9)A ,(6,3)B -, 点P 的横坐标为14，且OP PB λ=.点Q 是边AB 上一点,且0OQ AP ⋅=，R 为线段OQ 上的一个动点,则（ ）A ．7=4λ B ．点P 的纵坐标为7-C ．2AB AQ =D ．()RO RA RB ⋅+的最小值为254-三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量(2,2),(8,6)a b ==-，则cos ,a b <>=________.14．已知向量(3,2),(4,2),(7,5)a b c =-=-=-，则向量c 可用向量,a b 表示为 ．15．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =________；PB PD ⋅=________．（第1问2分，第2问3分）16．已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是________．四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18~22小题各12分，共70分） 17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2),(2,3),(2,1)A B C ---- （1）求以线段,AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数t 满足()0AB tOC OC -=，求t 的值．18．已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==，παβ<<<0．（1）若||2a b -=，求证：a b ⊥；（2）设(0,1)c =，若a b c +=，求βα,的值．19．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，E 是AD 上一点，过E 的直线分别交边,AB AC 于,M N ．（1）若12AE AM AN λλ=+,求证：121λλ+=； （2）若D ，E 分别是BC ，AD 中点，且,AM xAB AN y AC ==,求11x y +的值．20．阅读一下一段文字：222222()2,()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+，两式相减得：22221()()4[()()]4a b a b ab ab a b a b +--=⇒=+--，我们把这个等式称作“极化恒等式”．它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试解决以下问题：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点． （1）若5,4AD BC ==，求AB AC ⋅的值；（2）若4AB AC ⋅=，1FB FC ⋅=- ，求EB EC ⋅的值．CBN MADEBCA DFE21．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ∠=︒=，6BC =，3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，（1）求实数λ的值；（2）若,M N 是线段BC 上的动点， 且||1MN =，求DM DN ⋅的最小值．22．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知()()1,cos 1sin ,cos ,0,2A x B x x x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,， 23AC AB =,记,OA a OB b ==． （1）试用向量,a b 表示向量OC ，并求向量OC 的坐标； （2）若函数()223f x OA OC m AB ⎛⎫=•-+• ⎪⎝⎭的最大值为94，求实数m 的值．BCA MN D高一数学3月阶段测试卷参考答案1．A 2．B 3． D 4．A 5．B 6．C 7． D 8．C 9．ACD 10．AC 11．BC D 12．BC 13．；14.132a b -+；151-；16．32- 17．（1）(3,5),(1,1),(2,6)(4,4)AB AC AB AC AB AC ==-+=-=，………………4分 ||210|-|42AB ACAB AC +==，所以平行四边形两条对角线的长分别为………………6分（2）21(32,5)OC AB tOC t t =---=++（，）, ………………8分 11()2(32)(5)05AB tOC OC t t t -=-+-+=⇒=-………………10分 18．（1）||||1a b ==………………2分222()2||||220a b a b a b a b a b -=⇒+-⋅=⇒⋅=⇒⊥；………………6分 （2）cos cos 0sin sin 1αβαβ+=⎧⎨+=⎩………………8分因为παβ<<<0，所以62sin 156πβαβπαπα⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩………………12分19．（1）1212(1)ME AE AM AM AN AM AM AN λλλλ=-=+-=-+MN AM AN =-+………………2分，因为//MN ME 所以存在实数μ使得1121221(1)()1ME MN AM AN AM AN λμμλλμλλλμ-=-⎧=⇒-+=-+⇒⇒+=⎨=⎩………………6分（2）因为D ，E 分别是BC ，AD 中点，所以11()24AE AD AB AC ==+…………8分又,AM xAB AN y AC ==，所以1144AE AB AC x y =+，即1211,44x yλλ== …………10分由（1）知11111444x y x y+=⇒+= ……………………12分 20．解：（1）由“极化恒等式”知：222211[()()]2542144AB AC AB AC AB AC AD CB ⋅=+--=-=-=………4分（2）设3,2(0,0)AD m BC n m n ==>>，因为4AB AC ⋅=由（1）知222214944AD CB m n -=⇒-=① 因为1FB FC ⋅=-同理可得22221114FD CB m n -=-⇒-=-① ……………8分 由①①解得22513,88m n == ……………10分 于是有222212013744888EB EC ED BC m n ⋅=-=-=-= ……………12分 21．（1）AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ= ……………4分（2）以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3,22A ⎛ ⎝⎭,又∵16AD BC =,则5,22D ⎛ ⎝⎭，……………6分 设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），5,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，3,22DN x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ……………8分()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. ……………12分 21．（1）221212()333333AC AB OC OA OB OA OC OA OB a b =⇒-=-⇒=+=+ 2(1sin ,cos )3OC x x =+ ……………3分（2）221sin cos 3OA OC x x •=++，()sin ,0,0,||sin 2AB x x AB x π⎡⎤=∈∴=⎢⎥⎣⎦()22221sin cos 2sin sin 2sin 233f x x x m x x m x ⎛⎫=++-+=--+ ⎪⎝⎭……………6分记sin (01)x t t =≤≤()222()22()2f x g t t mt t m m ==--+=-+++①当0110m m ≤-≤⇒-≤≤时()2max 91242f x m m =+=⇒=-……………8分 ②当11m m ->⇒<-时()2max 951222148f x m m m =--+=-+=⇒=-舍去； ……………10分③当00m m -<⇒>时()max 2f x =舍去； 综上12m =-……………12分。