式中左边是用当地加速度和迁移加速度描述的流体动量 ；右边为引起左边流体动量产生变化的激励源，其中 第一项为作用在流体上的力（声激励p），负号表示力 的方向与压力梯度的方向相反，第二项为Q(x,t)质量源 的引入所致的动量增加（由于某种原因引起的小球表 面脉动速度u(x,t)，它也是激励源），其中ρQ(x,t)u(x,t) 为每单位流体体积的动量增加。因此
) dV ( x ')
• 以喷流噪声为例，单位体积湍流辐射的声强近似正比于
U8 j ρ0 ρ s 5 2 Lc0 x ρ0
2
其相应的声功率正比于
U8 j ρ0 ρ s 5 Lc0 ρ 0
2
• 三种噪声源综合起来
∂ 2Tij ∂2 p ∂Q ( x , t ) 2 2 2 2 Fi ( x , t ) 2 = − c0 ∇ p c0 ρ 0 − c0 + c0 ∂t 2 ∂t ∂xi ∂xi ∂x j
2 ∂ Tij F x t ( , ) Q x t ( , ) ∂2 p ∂ 2 2 2 2 2 i = − c0 ∇ p c0 ρ 0 − c0 + c0 2 ∂t ∂t ∂xi ∂xi ∂x j
气动声学的研究发展
• 20世纪50年代初，Lighthill在对喷流尾流中自由湍流的声激发
DI = Dt
∫
V
∂A dV + ∫ Au j n j dS S ∂t
推导脉动质量源波动方程
DI = Dt
∫
V
∂A ∂ dV + ∫ ( Au j )dV V ∂x ∂t j
∂A ∂ = ∫ + Au j ) dV ( V ∂t ∂x j ∂A ∂u ∂A = ∫ +uj + A j dV V ∂x j ∂x j ∂t DA ∂u j = ∫ +A dV V ∂ Dt x j
响。结果表明：固体边界的作用相当于在整个固体边界上分布偶 极子源，且每点偶极子源的强度等于固体表面该点作用在流体上 的力的大小 成功解决：湍流中静止小物体的风鸣声、圆柱旋涡脱落诱发的噪 声等问题 但不足：未涉及到运动固体边界与流体的相互作用的发声问题， 不能对风扇/压气机转子、螺旋桨的噪声进行预测
气动声学的研究发展
应力引起的声场（四极子）
• 应力引起的声场（四极子）
2 ∂ Tij ∂2 p 2 2 2 − c0 ∇ p = c0 2 ∂t ∂xi ∂x j
• 解得声压：
1 p( x , t ) = 4π
∫
V
∂ Tij ( x ', t − ∂xi ∂x j x − x'
2
x − x' c0
•
∂ ( ρ ui ) ∂ ( ρ ui u j ) ∂p + = − + ρ Q ( x , t )ui ∂t ∂x j ∂xi
• Q＝4πa2uj＝表面积×径向脉动速度=体积对时间的变
化率，体积增量。显然该项为ujui二阶微量
∂u + ∇p = 0 ρ0 ∂t
• 线性化处理得
• 由上式可见，线性化后，质量源对动量方程不产生影
• 解得声压：
1 ∂ p( x , t ) = 4π ∂t
∫
V
ρ 0Q( x ', t − c0 x − x'
x − x'
) dV ( x ')
• 与经典声学中的波动方程相比，多余的项都为声的激
发源。为求解方程方便，一般将包含待解声场参量的 项放在方程的左边，并可用达朗贝尔波动算子描述； 而把被理解为声的激发源的项放在方程的右边
为Lighthill方程，它的求解是在自由空间假设下得到的，对于在固体边界不 起主要作用的地方，如喷气噪声问题，莱特希尔的基本理论是适用的
∂2 p 1 ∂2 p = ∂x 2 c 0 ∂t 2 ∂2ρ 1 ∂2ρ =0 ∂x 2 c 0 ∂t 2
气动声学的研究发展
• 1955，柯尔理论，将莱特希尔理论推扩到考虑静止固体边界的影
因此有：
D dV Q x ρ = ρ ( , t )dV ∫ ∫ V V Dt
∂ρ + ∇( ρ u ) = ρ Q( x , t ) ∂t
推导脉动质量源波动方程
• 物态方程p＝c02ρ’
将物态方程p＝c02ρ’代入(3-47)式，并线性化处理得
∂p 2 2 + ρ 0 c0 ∇ u= ρ 0 c0 Q( x , t ) ∂t
单极子、偶极子和四极子的物理现象说明
• 四极子的物理现象为流体中没有其他刚性物体，此时，如果流
体中能产生力，那么它只能是成对的大小相等方向相反的流体 自身的粘性应力，如同两个靠得很近的大小相等方向相反的偶 极子一样。简单的物理模型可以看作是位置、体积都不变的球 ，在一个直径方向上凸出，同时在另一个垂直方向上凹进，而 反复地振动的湍流涡团（高亚声速的湍流喷流）
• 1965年洛森（Lowson）研究了自由空间里的一个运动奇点的声
场特性。这个奇点可以是集中偶极子源、单极子源或四极子源 直接用来建立直升机转子、压气机转子/静子干涉的噪声模型
• 1969年，福茨 威廉姆（Ffowcs Williams）和霍金斯(Hawkings)
应用广义函数法将柯尔的结果扩展到考虑运动固体边界对声音 的影响，得到一个较普遍的结果（FW-H方程）
车辆噪声—— 气动噪声
本课程内容使用的参考书
• 《气动声学》孙晓峰 国防工业出版社
本次课主要内容
气动噪声产生 原理和分类 各类声源对应的物理现象
各类声源的波动方程
波动方程的解
列车噪声源及速度分区
2013年11月26日 4
图2 列车气动噪声源
2013年11月26日
5
气动噪声产生原理
• 由气流直接产生的振幅和频率杂乱、统计上无规则的声音 • 喷气式发动机喷出的气流产生的声就是一种气动噪声 • 气动噪声伴随出现脉动声压。高速飞机表面湍流边界层（
高速列车气动噪声源分析
• 包含了两类噪声源：
表面偶极子项：来源于物体的表面压力与粘性剪切应力 体积四极子项：来源于物体周围流场内的Lighthill应力
流体力学发生机理
• 常有三类流动力学发声机理：
脉动质量源。膨胀收缩的脉动球（形体表面流体的 同步排挤和填补，形体为固体或流体自身气泡），即 附加质量所致的单极子源 脉动力源。固体表面起伏力（一定存在某种固体边 界），即载荷所致的偶极子源 流体内部应力源。流体内部应力（不存在任何固体 边界，如体积不变在一个直径方向凸起而在另一垂直 方向凹进的涡团），即形变所致的四极子源
见边界层）所发出的噪声和伴随而来的脉动声压，不但使 乘客感到不舒服，还使飞机蒙皮承受疲劳应力，甚至遭到 破坏（500km/h高速列车面临同样问题）
• 控制气动噪声，已成为设计现代高速飞机、高速列车和高
速气流设备必须考虑的问题
气动声学的研究发展
• 19世纪50年代，莱特希尔根据N-S方程和连续方程，导出了声传播方程，称
三种噪声源对比
三种噪声源对比
• 按效率来说，这三种声源的次序是单极子，偶极子和
四极子，后者最低
• 但是按总功率说次序正好相反，它们的总声功率分别
与流速的四次，六次和八次成正比。有时四极子的功 率可大大超过其他两种，特别当流速高的时候。
单极子、偶极子和四极子的物理现象说明
• 单极子的物理现象为空间一小区域中（源点）流体的周期性引
的研究中推导出了著名的Lighthill方程
• 式中Tij=ρuiuj-dij+δij[(p-p0)-c02(ρ-ρ0)]为Lighthill湍流应力张量，其
中第一项为雷诺应力、第二项为粘性应力、第三项为热传导的 影响。上式的意义在于：第一，表明了流体介质中变化的应力 可以成为噪声的激发源；第二，表明了当声场的存在不对流体 运动产生可察觉的影响时，激发的噪声可用与古典声学理论相 似的方法确定。
脉动球源的非齐次波动方程
• 脉动球源引起的声场（单极子）
∂2 p 2 2 2 ∂Q − c0 ∇ p = ρ0 c0 ( ) 2 ∂t ∂t
x − x'
解得声压
1 ∂ p( x , t ) = 4π ∂t
∫
V
ρ 0Q( x ', t − c0 x − x'
) dV ( x ')
进或抽出，如活塞（语音声、气流扬声器、旋笛、脉冲喷气等 ），桨叶在零迎角下的厚度噪声
• 偶极子的物理现象为空间一小区域中（源点）流体来回振动，
并没有引进新的流体，如紊流干扰下的一个刚体（圆球、机翼 ）来回振动，它两端的表面振动是大小相等方向相反的，如同 两个靠得很近的大小相等方向相反的单极子一样。显然，偶极 子声源需要一个外加的振动力，所以它是力声源。对于两端表 面相隔较远的厚机翼的振动，则在较低频率为偶极子
• 由此看出，当源为体积流量Q时，上述质量守恒方程中增加了
一个源项，变成了有源方程。正是因为这个源项的存在使得下 面推导出的波动方程为非齐次方程
推导脉动质量源波动方程
• 动量守恒方程
对于体积V中的流体来说，由动量守恒得
∂ ( ρ ui ) ∂ ( ρ ui u j ) ∂p + = − dV dV + ∫ ui Q ρ dV ∫V ∂t ∫ V ∂x V ∂ 质量守恒方程
这里允许流体中包含脉动质量源，并假设在时刻和位置x每 单位流体体积内流入的流体体积流量为Q(x，t)，则对于体 积V中的流体来说，相应的质量守恒方程为
D dV Q x ρ = ρ ( , t )dV ∫V Dt ∫V
将全微分和体积分的物质导数代入上式得