第一章 晶体的结构习题一、填空题1.固体一般分为晶体 非晶体 准晶体2.晶体的三大特征是 原子排列有序 有固定的熔点 各向异性3.___原胞__是晶格中最小的重复单元， 晶胞 既反映晶格的周期性又反映晶格的对称性。
4.__配位数___和_致密度____均是表示晶体原子排列紧密程度。
5.独立的对称操作有 平移、旋转、镜反射、中心反演 二、证明题1.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。
解：我们知体心立方格子的基矢为：2.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=+-=++-=)(2)(2)(2321k j i a k j i a k j i a a a a根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：3.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=Ω⨯=+=Ω⨯=+=Ω⨯=)(2][2)(2][2)(2][2213132321j i a a b k i a a b k j a a b a a aππππππ 由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。
同理可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子4.证明倒格子矢量112233G hb h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。
解答:因为ij j i b a πδ2=⋅,332211b h b h b h G ++=3311h a h a CA -=,3322h ah a CB -= 很容易证明:0=⋅CA G ，0=⋅CB G 即321h h h G 与晶面族(321h h h )正交5.对于简方晶格，证明密勒单立指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足：22222()d a h k l =++，其中a 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。
证明如下:晶面方程可以写为：n x b h b h b h π2)(332211=⋅++，n 取不同整数代表晶面系中不同的晶面，各晶面到原点的垂直距离||||2332211b h b h b h n d n ++=π,面间距为:|||2332211b h b h b h d n ++=π=||2321h h h G π,剩下的东西就是代公式了6.证明不存在5度旋转对称轴。
7.证明正格矢和倒格矢之间的关系式为： ()为整数m m R G π2=⋅三、计算题1.已知某种晶体固体物理学原胞基矢为（1）求原胞体积。
（2）求倒格子基矢。
（3）求第一布里渊区体积。
j 2a 3i 2a a 1+=j2a3i 2a -a 2+=kc a 3=2.一晶体原胞基矢大小m a 10104-⨯=，m b 10106-⨯=，m c 10108-⨯=，基矢间夹角90=α， 90=β， 120=γ。
试求：（1） 倒格子基矢的大小； （2） 正、倒格子原胞的体积； （3）正格子(210)晶面族的面间距。
解：(1) 由题意可知，该晶体的原胞基矢为：ai =1a)2321(2j i a +-=bk a c =3由此可知：][2321321a a a a a b ⨯⋅⨯=π=abc bc 23)2123(2j i +π=)31(2j i +a π][2321132a a a a a b ⨯⋅⨯=π=abc ac 232j π=j 322⋅b π ][2321213a a a a a b ⨯⋅⨯=π=abc ab23232kπ=k ⋅c π2 所以1b ＝22)31(12+⋅a π＝110108138.134-⨯=m a π 2b ＝2)32(2⋅b π＝110102092.134-⨯=m b π 3b ＝212⋅c π＝110107854.02-⨯=m cπ (2) 正格子原胞的体积为：][321a a a ⨯⋅=Ω＝)]()2321([)(k j i i c b a ⨯+-⋅＝328106628.123m abc -⨯=倒格子原胞的体积为：][321b b b ⨯⋅=Ω*＝)](2)32(2[)31(2k j j i c b a πππ⨯⋅+＝3303104918.1316-⨯=m abc π (3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为：h h d K π2==3210122b b b ++π=j i )3434(42ba a ππππ++ =m ba a 1022104412.1)3131()1(142-⨯=++⋅ππ3.如图1.所示，试求：（1） 晶列ED ，FD 和OF 的晶列指数； （2） 晶面AGK ,FGIH 和MNLK 的密勒指数； （3） 画出晶面（120），（131）。
a2xyzAB DCGFEO I HyxAa2KOGLNMz图1.解：（1）根据晶列指数的定义易求得晶列ED 的晶列指数为[111]，晶列FD 的晶列指数为[110]，晶列OF 的晶列指数为[011]。
（2）根据晶面密勒指数的定义晶面AGK 在x ，y 和z 三个坐标轴上的截距依次为1，-1和1，则其倒数之比为1:1:111:11:11=-，故该晶面的密勒指数为（111）。
晶面FGIH 在x ，y 和z 三个坐标轴上的截距依次为1/2，∞和1，则其倒数之比为1:0:211:1:2/11=∞，故该晶面的密勒指数为（201）。
晶面MNLK 在x ，y 和z 三个坐标轴上的截距依次为1/2，-1和∞，则其倒数之比为0:1:21:11:2/11=∞-，故该晶面的密勒指数为（210）。
（3）晶面（120），（131）分别如下图中晶面AMLk 和晶面ABC 所示：b3xyzA BCOyxAb2KOLMz4.矢量a ，b ，c 构成简单正交系。
求：晶面族)(hkl 的面间距。
由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为：⎪⎩⎪⎨⎧===k a j a i a c b a 321由此可求得其倒格子基矢为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==⨯⋅⨯===⨯⋅⨯===⨯⋅⨯=k k a a a a a b j j a a a a a b i i a a a a a b c ab abc b ac abc a bc abc πππππππππ2)(2][][22)(2][][22)(2][][2321213321132321321根据倒格子矢量的性质有：32122b b b K l k h d hkl hkl ++==ππ 222)()()(12222clb k a h l ck b h a ++=++=k j i ππππ5.设有一简单格子，它的基矢分别为i a 31=，j a 32=，)(5.13k j i a ++=。
试求： （1） 此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子？ （2） 该晶体的倒格子基矢；（3） 密勒指数为（121）晶面族的面间距； （4） 原子最密集的晶面族的密勒指数是多少？[111]与[111]晶列之间的夹角余弦为多少？解：（1）由题意易知该晶体属于立方晶系，并属于体心立方布喇菲格子。
（2）由倒格子基矢的定义可知：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⨯⋅⨯=-=-⋅=⨯⋅⨯=-=-⋅=⨯⋅⨯=kk a a a a a b k j k j a a a a a b k i k i a a a a a b 5.125.1392][][2)(325.13)(5.42][][2)(325.13)(5.42][][2321213321132321321πππππππππ （3）根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为（121）晶面族的面间距为3211121122122b b b K -+⋅==ππd103030352(322==-+=k j i ππ（4）由于面密度d ρβ=，其中d 是面间距，ρ是体密度。
对布喇菲格子，ρ等于常数。
因此，我们可设原子最密集的晶面族的密勒指数为)(321h h h ，则该晶面族的面间距321h h h d 应为最大值，所以有33221122321321b b b K h h h d h h h h h h ++==ππmax )2(3])2([3222132121321=--++=--++=kj i k j i h h h h h h h h h h ππ由此可知，对面指数为（100）、（010）、（101）、（011）和（111）有最大面间距2/3，因而这些面即为原子排列最紧密的晶面族。
（5）[111]与[111]晶列之间的夹角余弦为321321321321111111111111)()(arccosa a a a a a a a a a a a R R R R -+⋅++-+⋅++=⋅⋅=α53.485.15.15.15.15.45.4)5.15.15.1()5.15.45.4(arccos =-+⋅++-+⋅++=kj i k j i k j i k j i。