1.普朗德尔-瑞斯纳公式
概 述 ： 普 朗 德 尔 (Prandtl,1920) 利 用 塑 性 力 学 针 对 无埋深条形基础得到极限承载力的理论解，雷斯诺 (Reissner,1924)将其推广到有埋深的情况。
假定：
1.基底以下土 ＝0 2.基底完全光滑 3.埋深d<B（底宽） 4.土体为刚塑性材料
c p 0d sin 2
p q = 0d
2=/2 时右端为最小
此时其轨迹为以基底为直径的 一个圆弧
• 临塑荷载
z
M
B 2
pcr = 0 d+c
• 临界荷载
＝0 时特例
p1/4 = p1/3 = pcr = 0 d+c
讨论
公式推导中假定k0 =1.0与实际不符，但使问题得以 简化。
计算临界荷载p1/4,p1/3时土中已出现塑性区，此时仍 按弹性理论计算土中应力，在理论上是矛盾的。
其中
Nq 1
ctg
2
ctg
Nc
ctg
2
• Zmax=B/4或B/3：
p1/4 = B N1/4+0 d Nq+cNc p1/3= B N1/3+0 d Nq+cNc来自其中N 1/4
4 ctg
2
N 1/3
3
ctg
2
临界 荷载
各种临界荷载的承载力系数
1
p BN qNq cNc
公式来源于条形基础，但用于矩形基础时是偏于安 全的。
临界荷载：
外因 内因
• 讨论(续)
1
p BN qNq cNc
2
B、d 增大 、c、 增大
p1/4 、p1/3增大
特例：＝0时B变化 对p1/4、p1/3没有影响
临塑荷载：
pcr = 0 dNq+cNc
B的变化对
pcr没有影响
第三章 土的抗剪强度与地基承载力
地基基础
主讲教师：唐 亮 哈尔滨工业大学土木工程学院
第三章 土的抗剪强度与地基承载力
土力学－力学强度问题－基本理论知识
本章内容
绪 论 第一节 土的极限平衡条件 第二节 抗剪强度指标及其测定方法 第三节 地基的临塑荷载和临界荷载 第四节 地基极限荷载计算与确定方法
承载力的概念
地基承受荷载的能力。数值上用地基单位面积 上所能承受的荷载表示。
将无限长、底面光滑荷载板至于无质量 Ⅲ区：被动朗肯区，
的土(＝0)的表面上，荷载板下土体处于 1水平向，破裂面与 塑性平衡状态时，塑性区分成五个区。 水平面成45o－/2
B
qq=0Dd
pp0 u
实际地面
Dd
A
BI
F III
II
E C
无重介质地基的滑裂线网
利用塑性力学的滑移线场理论
qq =D0d Dd
pu cNc 0dNq
极限承载力
地基承受荷载的极限能力。数值上等于地基所 能承受的最大荷载。
容许承载力 承载力设计值(特征值)
保留足够安全储备，且满足一定变形要求的承 载力。也即能够保证建筑物正常使用所要求的 地基承载力。
浅基础基础破坏模式
1 整体破坏
土质坚实，基 础埋深浅；曲 线开始近直线， 随后沉降陡增， 两侧土体隆起。
3= 0d
1 pp
pp 0dK p 2c K p
Kp
tg 2 (45
) 2
隔离体分析 pu
A 0d
pa
r0
pp
r
c R
普朗特尔理论的极限承载力理论解
承载力系数
pu cNc
式中：N c ctg [exp( tan ) tan 2 (45 0 / 2) 1]
当基础有埋深d 时:
d B
普朗特尔极限承载力理论
1920年，普朗特尔根据塑性理论，在研究刚性物体压入均匀、
各向同性、较软的无重量介质时，导出达到破坏时的滑动面
形状及极限承载力公式。
Ⅰ区：主动朗肯区，
P
45o＋ / 2
1竖直向，破裂面 与水平面成45o＋/2。
d 45o－ / 2 Ⅰ
ⅡⅡ
Ⅲc
b
Ⅲ c
d Ⅱ区：普朗特尔区， 边界是对数螺线
1 3 2c ctg
M
2
将1，3的解代入极限平衡条件，得到：
z
p
0d
sin (
2
2 ) c ctg d 0
sin
由z与的单值关系可求出z的极值
z max
p 0 d ( ctg ) c ctg d 0
2
• Zmax=0
pcr = 0 dNq+cNc
临塑荷载
B
pp u0
实际地面
A
BI
r0 II
III
F
r
E
C
1 朗肯主动区： pu为大主应力，AC与水平向夹角45 2
2 过渡区：r=r0e tg
3 朗肯被动区：水平方向为大主应力，EF与水平向夹角45- 2
I区
pu
=pu
pa
pa pu Ka 2c Ka
Ka
tg 2 (45
)
2
III 区
0d
土力学－力学强度问题－基本理论知识
本章内容
绪 论 第一节 土的极限平衡条件 第二节 抗剪强度指标及其测定方法 第三节 影响抗剪强度指标的因素 第四节 地基极限荷载计算与确定方法
极限承载力计算
——极限承载力也可称作极限荷载
主要内容：
普朗德尔-瑞斯纳公式 太沙基公式（适用条形基础、方形基础和圆形基础） 斯凯普顿公式（饱和软土地基，内摩擦角0的浅基础） 汉森公式（适用于倾斜荷载） 极限承载力的影响因素
2 局部剪切破坏
P
3 21 S
3 冲剪破坏
松软地基，埋深较大； 曲线开始就是非线性， 没有明显的骤降段。
松软地基，埋深较 大；荷载板几乎是 垂直下切，两侧无 土体隆起。
1
3
2
1 整体剪切破坏
2 局部剪切破坏
3 冲剪破坏
软粘土上密砂地 基冲剪破坏
临塑荷载与临界荷载
1.弹性阶段
2.局部塑性区
临塑荷载： 地基处于弹性阶段与局部塑性阶段界限状态时对应 的荷载。此时地基中任一点都未达到塑性状态，但 即将达到。
2
N
Nq
Nc
pcr
0
p1/4
(Nq-1)/2
1+ /ctg - /2+) (Nq-1)ctg
p1/3 2(Nq-1)/3
• 特例：＝0 时
p q = 0d
极限平衡条件：
1 3 2c
B
z
将1， 3的解代入极限 平衡条件，得到：
M
2
p 0d 2sin 2 2c
c 即 p 0d sin 2 时地基不会出现塑性区
临塑荷载与临界荷载计算(条形基础)
• 自重应力 s1=0d+ z s3=k0(0d+ z)
• 附加应力
1,3
p 0d
(2
sin 2 )
• 合力= 设k0 =1.0
z
M
p q = 0d
B
2
1,3
p 0d
(2
sin 2 ) 0d
z
• 极限平衡条件：
p q = 0d
B
1 3
sin z