承诺书我们仔细阅读了南昌大学数学建模竞赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

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如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： .报名序号是(没有或不清楚可不填):________________.参赛队员(打印并签名) ：所属院系（请填写完整的全名）：1. 张三签名:_______________院系: 南大共青学院2. 李四签名:_______________院系: 南大共青学院3. 王五签名:_______________院系: 南大共青学院日期： 2015 年 6 月 2 日编号专用页评阅编号：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要嫦娥三号登月对我国有重大意义，为保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，本文用机理分析法，归纳演绎法，图像处理，软件计算等手法对题目所给条件和附件所传达的信息进行了分析、解读，得出了嫦娥三号在着陆准备轨道上的近月点的速度1692.2m / s ，在远月点上的速度1613.9m / s ，方向均为沿运动方向切向向前，再以近月点线速度开始模拟软着陆过程，在6 个阶段的软着陆中，准备轨道阶段进行了姿态调整，使主推进器方向与竖直方向成73︒9 '59" ，待进入主减速阶段后始终使主推进器方向始终与竖直方向保持在73︒9 '59" ，并启动主推进器使其推力保持在最大值7500N 持续353.3s= 9.2953s ，用姿态推进之后，进入快速调整阶段，该阶段用于方向调整关闭主推进器t2器调整方向时主推进器方向竖直向下以获取高程图，并进入粗避障阶段，调整姿态使主推进器向UA（见图2.4.2）延长线方向偏移4︒1'30" 用4018.35N 的推力推动31.9s 后，再调整姿态使主推进器向A 所在方向偏4︒1'30" 用相同的推力推动相同的时间后进入精避障阶段，快速调整姿态使主推进器向P A 延长线方向倾斜49︒11'19" 以1500N 的力进行推进6.125s 后，快速调整主推进器使其向P 方向倾斜49︒11'19" 并以相同的推力推进相同的时间后，转而进入缓速下降阶段，该阶段以5832.556N 的力竖直向下推进，2.221s 之后关闭主发动机，进行起始高度为4m 自由落体，2.216s 后模拟软着陆完成。

路线设计完成后本文又对运行轨迹的敏感性和误差进行了分析，并对地球造成的万有引力进行⨯9.18⨯10-7 kg 的燃料。

了考虑，该考虑可使整个软着陆过程节省mt关键词：软着陆；归纳演绎法；机理分析法；lingo11；matlab一、问题的重述嫦娥三号于2013 年12 月2 日1 时30 分成功发射，12 月6 日抵达月球轨道。

嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N 到7500N 的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。

在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。

嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。

其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6 个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6 个阶段的最优控制策略。

（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

二、问题的分析2.1问题一拱点在天文学上的意义是在椭圆轨道上运行的天体最接近或最远离它的引力中心，通常也就是系统的质量中心的点。

在阿波罗计划中，环绕月球的轨道上，最常用的是近月点和远月点来描述拱点。

结合数学中的椭圆的性质和物理中的天体运动公式可以对近月点和远月点的速度进行计算，在外力介入前在同一位置的运动速度和运动方向始终不变。

2.2问题二该问题共有6个阶段，每个阶段需要做的操作和调整除了题目本身所加的限制之外还要看之前一个阶段所处的状态，也就是说6个阶段里每个阶段都相互限制，若第一个阶段少考虑了某因素则相当于整个运算所算出的结果几乎没有现实意义。

每个阶段都有若干个未知量需要用微分求解，如果为追求模型的简单易行则需要进行适当的估算才能，对下一个阶段进行求解，若某一个阶段错误估计则后面的求解就可能出现巨大的偏差。

2.3问题三该问题完全是为了进一步完善问题二，对问题二的合理性进行分析，原问题并不属于数据处理类的题目，无法进行预测检验，以及走势检验，所以并不适合纯数据类的误差分析，反而更加适合对某些估算值的误差进行文字性的分析，若有能力找到标准答案进行误差分析，就反而没有必要进行误差分析，不如直接在问题二中求解出最完美的答案，所以问题三的额外作用应该是对模型假设的合理性进行判断。

三、模型的假设1、嫦娥三号绕月飞行轨道恰好满足开普勒第一定律，即月球刚好是嫦娥三号准备着陆椭圆轨迹的一个焦点。

2、姿态调整消耗燃料非常少，可以忽略不计。

3、姿态调整花费时间很短，认为瞬间完成。

4、在登陆月球之前，姿态调整发动机可以使主发动机保持在任何一个角度。

5、着陆准备轨道过虹湾区两短边中点正对上方坐标。

6、月球自转约周期约为地球自转周期的1/29，而整个软着陆过程只有750 秒左右，所以不考虑月球自转带来的影响。

7、在图示中由于嫦娥三号卫星的形状对问题研究没有影响，故此在图示中只作为质点，用小圆点表示，主推进器喷出火焰方向用带箭头的线段表示。

8、模型求解过程中搜集的资料准确无误。

9、每次相机进行拍摄时，相机所呈图像都为卫星正下方区域，即若不水平移动定会降落拍摄图片的几何中心处。

10、嫦娥三号着陆过程中没有任何物体对嫦娥三号进行撞击。

四、符号的说明地2 2 2m 单位时间燃料消耗的公斤数五、模型的建立与求解5.1 问题一的模型建立与求解：拱点在天文学上的意义是在椭圆轨道上运行的天体最接近或最远离它的引力中心，通常也就是系统的质量中心的点。

在阿波罗计划中，环绕月球的轨道上，最常用的是近 月点和远月点来描述拱点。

于是只需求出椭圆拱点处的速度即可，下面将对拱点速度进行推导： 为便于公式的推导，设：嫦娥三号质量为m ，轨道运行周期为T ,轨道半长轴为 a ， 轨道半短轴为b ，半焦距为 c ，面积速度为 m v ，角速度为 w ，月球平均半径为 R ，卫星 到月球中心的距离为r ，半正焦弦为l ，运行速度为 v 。

面积速度公式m v = 1 r 2 w = 1 rv 2 2令h =2m v ,可得 h = 2 m v = r v（1）根据开普勒第二定律，星星在单位时间内扫过的面积是常数 h 即 m ，但在周期T 内，2v 星星扫过的面积等于椭圆面积 ab π ，由于假设 1，所以同样适用于嫦娥三号与月球系统 中（下文同理不再赘述）：1hT = ab π 2即T =2ab π h两边同时平方T 2=4a b π h 2由解析几何可知b 2 = al （2）将其代入上式4π 2 a 3 T2h 2= （3）l将（1）式代入（3）得4π 2 a 3 T 2(r v )2= （4）l根据牛顿力学导出式4π 2 a 3T 2= GM[1] （5）将（4）式代入（3）中可得GM =(rv )2l即v r（6）b 2由（2）式变式可得l = ，且在椭圆解析几何中b 2 = a 2 - c 2 a,只需解出 a 、c 即可 算出l 以及拱点速度：a = 1(2R +100 +15) = 1794.513km2c = a - R -15 = 42.5kml = a 2 - c 2a= 1793.516km将l 代入（6）式可算得v 远 m / sr速度方向为过远月点的切线方向且沿运动方向向前，与嫦娥三号姿态无关v 近 = r= 1692.2m / s速度方向为过近月点的切线方向且沿运动方向向前，与嫦娥三号姿态无关5.2 问题二的模型建立与求解：（1）第一阶段（着陆准备轨道）图2.1.1建立如图所示月心系，由于月球半径较小，主减速阶段产生位移较大，所以单独一个直角坐标系并不方便描述操作，于是在每个瞬间都以月球表面切线为水平面，即嫦娥三号的位置与月心的连线总为Y 轴，且始终认为Y 轴即为竖直方向,X 轴正方向总为附件1 中虹湾区向右延伸方向。

研究落月并不需要考虑整个月球，只需考虑包括虹湾区在内的小区域即可，故此对月心系进行局部放大：图2.1.2由题目本身可知预定着陆点的海拔为-2641 米，而虹湾区又为预定着陆区，故此直接认为虹湾区的平均海拔为-2641 米，据附件1 可知虹湾区总长356 千米，于是虹湾区对应的角度为13 31'14" ，嫦娥三号将在此区域内着陆。

在该阶段时几乎不消耗燃料，该阶段主要操作为调整嫦娥三号姿态，使其能够在进入最佳着陆时间段之前做好姿态的调整，即在图2.1.1 中近月点位置的坐标系下将主发+ v y 1 + a = ( r = ⎪ ⎪ v x 1 a 1 ⎪ g ⎪ 1 动机调整为与竖直方向成 73︒9 '59"（该角度计算公式见第二阶段）但主推进器并不点火，如图2.1.3 所示。

（2）第二阶段（主减速阶段）图2.1.3由题目可知嫦娥三号在准备轨道上时质量为 2.4t ，在准备轨道上几乎没有能量消耗，所以质量仍然为2.4t 。

该阶段为整个软着陆过程中最漫长的阶段，需要用燃料的化学能来抵消环绕期间的机械能，即为最主要的燃料消耗阶段，为在预定时间内完成减速工作，主推进器采用最 大推力才能实现目标。

根据附录所给公式 F thrust = v e m ，且嫦娥三号住推进器的比冲为 2940m/s ，采用最大推力 7500N 时 m = 2.551kg / s由已知可知预定着陆点的海拔为-2641 米，相对于其他阶段而言，2641 米的长度补偿对于主减速阶段不会造成太大影响。