复合映射 , 记作
注意: 构成复合映射的条件
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不可少.
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三、函数
1. 函数的概念
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2. 反函数
（教材14页）
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In Excel: abs(x)
证明 对于任意的
是偶函数，
是奇函数。
补充：两个奇（偶）函数之和仍是奇（偶）函数；
之积是偶函数;
一个奇函数与一个偶函数之积是奇函数。
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(4) 周期性
且 则称 若
为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
周期为
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数
第一章 函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一章
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
四、 初等函数
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一、 集合
1. 定义及表示法
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
使得对任意的
函数
总有
则称
在D上有上(或下）界。 函数在某个区间D上有
界时函数既有上界、也有下界， 反之也成立。 但当函数 在D上只有上界（或有下界）时， 函数在D上无界。
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例1 设
当
则称 当 则称 当 当
时，
时为有界函数。 使
时， 不存在正数
时，为无界函数。
说明：一个函数是否有界与所给的实数集密切相关。
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称为半开区间, 称为半开区间, 以上是有限区间
无限区间
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邻域:
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绝对值
设 a 是一个实数，数轴上 a 所对应的点到原点的距离 称为 a 的绝对值，记为： 一般：
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数轴上点 x 到点 a 的距离为
运算性质:
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特别：自然对数函数
y e 的反函数记为 y ln x
y f (u ), u D1
且 ( D ) D1
则
① ②
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 ( D) D1 不可少.
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y
u , u0
u ln v
v 1

用描点法在同一坐标系中
三个函数的图形分别为:
0,1
0
x
指数函数 y a
1 x y( ) a
x
(a 0, a 1) x (, )
ya
x
y
a 1
性质： （1）图形在 x 轴的上方
1 0 1 a
y 0 x , .

(0,1)
（2）图形均过点 0,1 （3） (a 1) x 曲线从左到右逐渐上升。
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对应规则： f 定义域 ：Df = X 值域 ： Rf =
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
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几种映射的类型
满映射（满射） 单映射（单射） 一一映射（双射）
同一个函数在不同的实数集是否有界的结论可能不一样。
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(2) 单调性
定义：设函数 且
则称 f ( x ) 在 则称 在
上是单调增加的 ; 上是单调减少的.
单增和单减函数统称为单调函数。
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例1：证明 证明函数 且 或当 （或 （或 看 时，判别 。 的单调性，关键是看 的符号。
其图形对称于原点。
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(3) 奇偶性
说明: 若 必有 在 x = 0 有定义 , 则当为奇函数时,
偶倍奇零
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例 1： 是偶函数
是奇函数
例2 判断函数 的奇偶性。
解
则此函数在为偶函数。
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例3 设
是定义在
上的任意函数，证明 是偶函数， 是奇函数。
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逻辑量词
全称量词
There Exist
E
存在量词
For All
存在 There Exist
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A
任意
For All
解释以下命题
对任意实数x，都存在比x 更大的实数y。
任意两个实数之间，都存在着一个实数。
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二、 映射
1. 映射的概念 引例 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号
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求周期函数的周期的方法：
由此等式中解出 l . 例：求函数 解：
的周期 l .
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4、复合函数 定义：设 y f u u x x 的值全部落在 f u 的定义域内， 则称 y f [ x ]为x 的复合函数。 即： 设有函数链
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例2
这说明：有时一个函数在整个区间D不是单调的，
而将D分成几个小区间， 却在每个小区间上是单调的，
这需要分别讨论。
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(3) 奇偶性
定义： 设函数 且满足 若 则称 f (x) 为偶函数; 在对称区间 上有定义。
其图形对称于 y 轴。 若 则称 f (x) 为奇函数.
2、图形在 y 轴的右方
(1,0)
x 0 不与 y 轴相交。
3、
ห้องสมุดไป่ตู้
a 1
0 y ,
y log a x 0 a 1 曲线从左到右逐渐上升。
0 x 1
y 0
x 1
0 a 1
(4)
曲线从左到右逐渐下降。
a
y log a x 与 y log 1 x 的图形对称于 x轴.
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M *表示 M 中排除 0 的集 ;
2. 集合之间的关系及运算 定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B .
若 例如 , 且 , 则称 A 与 B 相等, 记作 A B . ,
某班学生的集合 按一定规则入座
某教室座位 的集合
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定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f ( x). 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 .
可表为 y
x , 故为初等函数.
2
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1、幂函数
y x
(是常数)
反比例函数：
定义域为：
x ,0 0,
x [0,) x (0,)
1 yk x
k 0
y y
无论
1 x2 , 1 x 2,
幂函数在 x (0,) 内总是有定义。 为何值，
显然有下列关系 :

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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集
交集 差集 余集
或
且
且
A
A
直积
特例:
记
为平面上的全体点集
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3.区间与领域 区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
称为开区间,
称为闭区间,
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