信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@ 4
数域的相关概念-半群、群
定义：设代数系统V=<A,•>，•为A上的二元运算，若•满足结合 律，则称V为半群。 定义：设<G,∘>是代数系统，∘为二元运算。如果∘可结合，存 在单位元e∈G，且对G中任何元素x，都有x-1∈G，则称G为群。
矩阵理论与方法
第0章 预备知识 庄 伯 金
Bjzhuang@
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
1
主要内容
数域相关概念 矩阵的基本概念 行列式的基本概念
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
2
数域的相关概念-二元运算
det( A) aij Aij aij (1)i j M ij
i 1 i 1
n
n
j 1 n
j 1 n
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
17
行列式的基本性质
1.若矩阵的两行（或列）交换位置，则行列式数值不变，符号 相反。 2.若矩阵的某行（或列）为其他行（或列）的标量乘积，则行 列式为0。 3.若矩阵的某行（或列）为其他两行（或两列）的和，则行列 式为0。
A A
H
* T
A
T *
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
10
矩阵的基本运算
矩阵和：两个 m n 矩阵A aij 和 B bij ，其和 A B ， 其元素定义为：
A B ij aij bij Aij aij
n
9.三角（上三角或下三角）矩阵的行列式等于其主对角元素的 乘积。 10.若矩阵
A 可逆，则 det( A1 ) 1 det( A) 。
注：若矩阵行列式不为零，则矩阵可逆，称为非奇异矩阵。
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
19
15
行列式的概念
余子式：矩阵 A 去掉第 i 行和第 j 列之后得到的剩余行列式记 作 M ij ，称为元素 aij 的余子式。 a11 a1 j a1n M ij ai1 aij ain an1 anj ann 代数余子式：将余子式带上符号，称为代数余子式，记作 Aij
Aij (1)i j Mij
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
16
行列式的概念
行列式递归定义：一个 n n 矩阵的行列式等于其任意行（或 列）的元素与其对应代数余子式乘积之和。即
det( A) aij Aij aij 列式为1。
5.任何一个方阵和它的转置矩阵行列式相同。 6.两个矩阵乘积的行列式等于它们的行列式乘积。
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@ 18
行列式的基本性质
7.给定任意一个常数 ，矩阵的II型初等行（列）变换的行 列式为原来矩阵行列式的 倍。 8.给定任意一个常数 ，则 det( A) det( A) 。
14
行列式的概念
定义（递归定义）：一个 n n 正方矩阵 A 的行列式记作 或 det( A) ，其形式定义为：
A
a11 a1n det( A) A an1 ann
若
A a C11，则其行列式的结果为 det( A) a。
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
定义：设集合A，函数F:A×A→A称为A上的二元运算，简称 为二元运算。 A上的任意两个元素都可以进行二元运算，且结果唯一； 运算的结果还在A内，即运算在A上封闭。 可以用•, *, ∘等符号表示二元运算，称为算符。 代数常数 单位元：设•为A上的二元运算，元素e∈A，如果对任意的 x∈A，都有e•x=x•e=x，则称e为运算•的单位元或幺元。 零元：设•为A上的二元运算，元素θ∈A，如果对任意的 x∈A，都有θ•x=x •θ=θ，则称θ为运算•的零元。
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@ 3
数域的相关概念-二元运算
逆元：设•为A上的二元运算，e为•的幺元，对于元素m∈A， 如果存在y∈A，满足y•m=m•y=e，则称y为m的逆元。 运算性质 交换律：设•为集合A上的二元运算，如果对于任意的元素 x,y∈A，都有x•y=y•x成立，则称运算•在A上可交换。 结合律：设•为集合A上的二元运算，如果对于任意的元素 x,y,z∈A，都有(x•y)•z= x•(y•z)成立，则称运算•在A上可 结合。 分配律：设•和*为集合A上的两个二元运算，如果对于任意 的x,y,z∈A，都有x*(y•z)=(x*y)•(x*z)和 (x•y)*z=(x*z)•(y*z)成立，则称运算*对•可分配。
ABij aik bkj
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
k 1
11
矩阵的基本运算
基本运算规律
矩阵加法满足交换律和结合律；
A B B A,( A B) C A ( B C )
矩阵乘积满足结合律，但不满足交换律；
b1 b bm
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
9
矩阵的基本运算
A 的转置记作 A ，为 n m 转置：矩阵 A aij 为 m n 矩阵， 矩阵，其元素定义为：
T
T A ij a ji 共轭：矩阵 A的复数共轭 A* 仍为 m n 矩阵，其元素定义为： * * A a ij ij 共轭转置：矩阵 A 的复共轭转置 A H为 n m 矩阵，其元素定 H * 义为： A a ji ij
初等列变换：令 m n 矩阵 A 的 n 个列向量分别为 a1 ,..., am
I型初等列变换：互换矩阵的任意两列。 II型初等列变换：矩阵一列元素同乘一个非零常数 。
a p aq
ap ap
注：初等列变换只有两种类型。
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
定义：
a11 a1n A Cmn A a ij am1 amn 信息与通信工程学院 庄伯金
bjzhuang@
8
矩阵的基本概念
行向量：1 n 矩阵称为行向量。记作 a a1 an 列向量：m 1 矩阵称为列向量。记作
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
6
数域的相关概念-环、域
定义：设<R,+,*>是环 若环中乘法*适合交换律，则称R是交换环。 若环中乘法*存在单位元，则称R是含幺环。 若∀a,b∈R，ab=0⇒a=0∨b=0，则称R是无零因子环。 若R既是交换环、含幺环、也是无零因子环，则称R是整环。 定义：设R是整环，且R中至少含有两个元素，若∀a∈R*=R-{0}， 都有a-1∈R*，则称R是域。 典型的域：有理数域、实数域、复数域
n
m n 矩阵 A 标量积： aij ，是一个标量，标量乘积 A 仍 为 m n 矩阵，其元素定义为： m n 矩阵 A aij 和 r s 矩阵 B bij ，当 n r 矩阵乘积： 时可定义乘积 AB，为 m s 矩阵，其元素定义为：
( AB)C A( BC ), AB BA
矩阵乘法对加法满足分配律。
A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
12
矩阵的初等变换
初等行变换：令 m n 矩阵 A 的 m 个行向量分别为 r1 ,..., rm
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
5
数域的相关概念-环
定义：设<R,+,*>是代数系统，+和*是二元运算，如果满足以 下条件： <R,+>构成交换群； <R,*>构成半群； *运算关于+运算适合分配律。 则称<R,+,*>是一个环。 +运算的单位元记作0，*运算中的单位元记作1。 a*0=0*a=0
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
7
矩阵的基本概念
a11 a1n A am1 amn 称为 m n矩阵，是一个按长方阵列排列的数集。 数集通常为实数集或复数集。可分别记为 a11 a1n A R mn A a ij am1 amn
I型初等行变换：互换矩阵的任意两行。 II型初等行变换：矩阵一行元素同乘一个非零常数 。
rp rq
rp rp
III型初等行变换：将某一行元素同乘一个非零常数后加给另一行。
rp rq rq
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
13
矩阵的初等变换
