第4章 弹性杆件横截面上的切应力分析4－1 扭转切应力公式p /)(I M x ρρτ=的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。

（A ）等截面圆轴，弹性范围内加载； （B ）等截面圆轴；（C ）等截面圆轴与椭圆轴；（D ）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。

正确答案是 A 。

解：p )(I M x ρρτ=在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。

4－2 两根长度相等、直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。

设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为max 1τ和max 2τ，切变模量分别为G 1和G 2。

试判断下列结论的正确性。

（A ）max 1τ＞max 2τ；（B ）max 1τ＜max 2τ；（C ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＞max 2τ；（D ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＜max 2τ。

正确答案是 C 。

解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即γγγ==21由剪切胡克定律γτG =知21G G >时，max 2max 1ττ>。

4－3 承受相同扭矩且长度相等的直径为d 1的实心圆轴与内、外径分别为d 2、)/(222D d D =α的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。

关于二者重之比（W 1/W 2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。

（A ）234)1(α-； （B ）)1()1(2234αα--； （C ）)1)(1(24αα--； （D ）)1/()1(2324αα--。

正确答案是 D 。

解：由max 2max 1ττ=得 )1(π16π1643231α-=D M d M x x即 31421)1(α-=D d（1）)1(222212121α-==D d A A W W （2）（1）代入（2），得2324211)1(αα--=W W4-4 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G 1和G 2，且G 1 = 2G 2。

圆轴尺寸如图所示。

圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。

关于横截面上的切应力分布，有图中所示的四种结论，试判断哪一种是正确的。

正确答案是 C 。

解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等21γγ=，因212G G =，由剪切胡克定律得交界面上：212ττ=。

4-5 图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN ·m 。

试求：习题4-4图习题4-5图1．轴横截面上的最大切应力； 2．轴横截面上半径r = 15mm 以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比； 3．去掉r = 15mm 以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。

解：1．7.7006.0π1610316π333PPmax 1=⨯⨯⨯====d T W T W MxτMPa2． 4π2d π2d 4pp1rI M I M A M xxrA r⋅=⋅⋅=⋅=⎰⎰ρρρρτρ∴%25.6161)6015(161632π4π24π244444p 4==⨯==⋅==dr d r I r MM xr3． ⎪⎭⎫ ⎝⎛-==43pmax 2)21(116πdTW Mxτ4-6 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为D 、壁厚均为δ，横截面上的扭矩均为T = M x 。

试： 1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力2max π2DMx δτ≈2．证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力DMxπ32max δτ≈3．画出两种情形下，切应力沿壁厚方向的分布。

解：1．δττD D A D M Axπ2d 2⋅⋅=⋅=⎰∴ 2π2DMx δτ=即：2max π2D Mx δτ=2．由课本（8－18）式 DMD MhbM xx x π3π33222max δδτ=⋅==4-7 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。

设实心轴半径为R 0，空心圆轴的内、外半径分别为R 1和R 2，且R 1/R 2 = n ，二者所承受的外扭转力偶矩分别为T s 和T h 。

若二者横截面上的最大切应力相等，试证明：22hs 11nn T T +-=解：由已知长度和质量相等得面积相等：)(ππ212220R R R -=（1）2π16π30s 3s max R T d T ⋅==τ（2）)1(16)2(π432hmax n R T -=τ（3）由（2）、（3）式)1(4323hs n R R T T -=（4）习题4-7解图习题4-6图τ(a-1)(b-1) (a-2) maxmaxτ (b-2)习题4-9图(a)由（1） 212220R R R -= 代入（4）∴22222324232432232122hs 11)1)(1()1(1)1()1()(nn n n n nn n R R R T T +-=+--=--=--=4-8 图示三杆受相同的外扭转力偶作用。

已知T = 30N ·m ，且最大切应力均不能超过60MPa 。

试确定杆的横截面尺寸；若三者长度相等，试比较三者的重量。

解：63m a x a 106016π⨯≤=d M x τ4.2910π60300161060π163636a =⨯⨯=⨯⨯≥T d mm 63b3b121m a x a 1060208.0⨯≤===dMdc M hbc Mxx x τ9.28m 02886.01060208.030036b ==⨯⨯≥d mm63c21m a x c 10602246.0300⨯≤⨯==d hbc Mx τ66.21m 02166.01060246.0230036c ==⨯⨯⨯≥d mm三者长度相同，重量之比即为面积之比。

816.0)02886.002942.0(4π4π22b2aba ===d d A A724.0)02166.002942.0(8π)(8π24π22c a 2c2aca ====d d d d A A∴127.1:1:816.0::c b a =A A A 1:887.0:724.0=4-9 直径d = 25mm 的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D = 75mm 、壁厚δ=1.25mm 的薄壁管，当杆承受外扭转力遇矩T = 73.6N ·m 时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。

假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G = 40MPa 。

试：1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？ 2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。

解：设轴受T = 73.6N ·m 时，相对扭转角为0ϕ， 且1p 0d d GI T x=ϕ （1）T 撤消后，管受相对扭转角2ϕ，则轴受相对扭转角201ϕϕϕ-=，此时轴、管受扭矩大小相等，方向相反，整个系统平衡。

021ϕϕϕ=+ （2）2p 1p 1p GI l M GI l M GI Tl x x '+= （3） x x M M '= （4）∴ T I I I M x p21p 2p +=（5）2p2p12p 2p p2p12p max h D I I T W I I I TW Mx⋅+=⋅+==τ（6）1212441p 105.3834910)25(32π32π--⨯=⨯==d I12124444p21039392210)755.72(13275π)2(132π--⨯=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=D D D I δm 4将I p1、I p2值代入（6）得习题4-8图(a) (b) (c) (d) 习题4-14图管：38.610)3939225.38349(102756.73123max h =⨯+⨯⨯=--τMPa轴：86.21105.38349)3939225.38349(103939222256.732d )(2d 1232p 1p 1p 2p 1p max s =⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅+⋅=⋅=--I I I T I I Mxτ MPa4-10 关于弯曲切应力公式)/(*Q z z bI S F =τ应用于实心截面的条件，有下列论述，试分析哪一种是正确的。

（A ）细长梁、横截面保持平面；（B ）弯曲正应力公式成立，切应力沿截面宽度均匀分布； （C ）切应力沿截面宽度均匀分布，横截面保持平面； （D ）弹性范围加载，横截面保持平面。

正确答案是 B 。

解：公式)(*Q z z bI S F =τ推导时应用了局部截面的正应力合成的轴力，该正应力x σ则要求弯曲正应力公式成立；另外推导时在∑=0x F 时，应用了τ沿截面宽度均匀分布假设。

4-11 试判断梁横截面上的切应力作用线必须沿截面边界切线方向的依据是： （A ）横截面保持平面； （B ）不发生扭转；（C ）切应力公式应用条件； （D ）切应力互等定理。

正确答案是 D 。

4-12 槽形截面悬臂梁加载如图示。

图中C 为形心，O 为弯曲中心。

关于自由端截面位移有下列结论，试判断哪一种是正确的。

（A ）只有向下的移动，没有转动； （B ）只绕点C 顺时针方向转动；（C ）向下移动且绕点O 逆时针方向转动；（D ）向下移动且绕点O 顺时针方向转动。

正确答案是 D 。

4-13 等边角钢悬臂梁，受力如图所示。

关于截面A 的位移有以下论述，试分析哪一种是正确的。

（A ）下移且绕点O 转动； （B ）下移且绕点C 转动； （C ）下移且绕z 轴转动； （D ）下移且绕z '轴转动。

正确答案是 D 。

4-14 试判断下列图示的切应力流方向哪一个是正确的。

正确答案是 A 。

4-15 四种不同截面的悬臂梁，在自由端承受集中力，作用方向如图所示，图中O 为弯曲中心。

试分析哪几种情形下可以直接应用zz xI y M /-=σ和)/(*Q z zbI S F =τ计算横截面上的正应力和切应力。

（A ）仅（a ）、（b ）可以；（B ）仅（b ）、（c ）可以； （C ）除（c ）之外都可以； （D ）除（d ）之外都不可能。

正确答案是 D 。

习题4-12图习题4-13图习题4-16图qBR(a)z(d)z(e)习题4-17图4-16 梁的受力及横截面尺寸如图 所示。

试：1．绘出梁的剪力图和弯矩图；2．确定梁内横截面上的最大拉应力和最大压应力；3．确定梁内横截面上的最大切应力； 4．画出横截面上的切应力流。

解：1．图（a ）：0=∑A M 04248R =⋅+⨯⨯-B F q 18R =B F kN0=∑y F ，22R =A F kN 剪力与弯矩图如图（b ）、（c ）； 2．形心C 位置mm 45.552060220801102060602080102080=⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=d46232323m m10855758.755.54206012206055.48020 12802045.452080122080⨯=⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=z I3m a x m a x 1045.55-+⨯⨯=zI M σ11410855758.71045.55102.16633=⨯⨯⨯⨯=--MPa 1331055.64 3maxmax=⨯⨯=--zI MσMPa3． 9*max 1085287245.3545.352045.452080-⨯=⨯⨯+⨯⨯=z S m 394.1110855758.7102010852871022 6393*maxQ max =⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---zz I S F δτMPa4．切应力流如图（e ）。