所以原方程组变为
dy 1 d x 1 1 P P A x P AP y J A y dt dt
即
d y3 d y1 d y2 2 y1 , y2 y3 , y3 dt dt dt
解得
y1 c1e , y2 c2e c3t e , y3 c3e ,
,p
( 2) ij
, , p
(1) ij
( ni j ) ij
)
Ap i j p i j J j ( i ) ，可知
( A iI ) p ( 2) ( 1) ( A i I ) pi j pi j ( A I ) p ( ni j ) p ( ni j 1) i ij ij
0 1 1
例 4
用 Jordan标准型理论求解线性微分方程组
d x1 d t x1 x2 d x2 4 x1 3 x2 dt d x3 x1 2 x3 dt
解：
方程组的矩阵形式为
dx Ax dt
dx dx1 dx2 dx3 T 这里 x ( x1 , x2 , x3 ) , ( , , ) , dt dt dt dt
p p 1
( 5) 13
p11
p12
p13
原理分析：
把 A 的同一个特征值的若干个Jordan块排列在一起， 就得到Jordan标准型
J A diag ( A1 ( 1 ), A2 ( 2 ), , At ( t )) ni
阶的Jordan子矩阵，有
( n 1 n 2 n t n)
不能正确算出广
D=
2 0 0 0 1 0 0 0 1
义特征向量！！
%ex401.m（续） A=[-1 1 0;-4 3 0; 1 0 2]; [P,J]= jordan(A) %使用内置的jodan函数 P= 0 0 -1
J= -2 -4 2 1 0 1
正确算出广义特
征向量！！
2 0 0
0 1 0
2 (1, 2, 1)
因此
A2 (1) 中只有一个Jordan块，即 1 1 A2 (1) 0 1
求解 ( A I ) 2 ，可得所需的广义特征向量
(0,1, 1)
T
综合上述，可得
0 1 0 P 0 2 1 , 1 1 1
其中
p i j ( j 1, 2, , ki ) 是 n ni j 阶矩阵。
由
A pi pi Ai (i )
，可知
A p i j p i j J j ( i ) ( j 1,2, , ki )
最后，根据 J j ( i ) 的结构，设
pi j ( p
由
(1) ij
p
( 2) 12
p
( 1) 13
p
( 2) 13
p
( 3) 13
p
( 4) 13
p p 1
( 5) 13
二、 Jordan标准型的一种简易求法
2 2 1 2 2 1 2 1 2 A ( ) 1 1 1 2
2t t 2t t
最后，由可逆线性变换 x P y 得原方程组的解
x1 c2e c3 t e t t x2 2c2e c3 (2t 1)e x c e 2 t c e t c ( t 1) e t 1 2 3 3
t t
%ex402.m 用dsolve求解符号微分方程组 syms t x1 x2 x3 %声明符号变量
( m1 m2 ms n)
则 V 可分解成不变子空间的直和
m1
m2
ms
V N1 排 N 2 ? N s mi 这里 N i Ker ((T i E ) )
适当选取每个子空间 N 的基（称为Jordan基）， i 则每个子空间的Jordan基合并起来即为 V 的Jordan
其中 Ai ( i ) 是 阶数为
ni j
( n i 1 n i 2 n i k i n i )的
ki 个
Jordan块，即
Ai ( i ) diag ( J1 ( i ), J 2 ( i ), , J k i ( i ))
根据 J A 的结构，将Jordan变换矩阵 P 列分块为
f ( z ) ai z ( z z1 ) ( z z2 ) ( z zs )
i m1 m2 i 0
n
ms
定理 1
设 T 是复数域 C 上的线性空间 V 上的 线性变换 。令 T 在 V 的一组基下的矩阵表示
为 A ，如果 A 的特征多项式可分解因式为
( ) ( 1 ) ( 2 ) ( s )
A1 (2) JA
因为特征值
A2 (1)
`1 2 为单根，所以 A1 (2) 2
并从 ( A 2 I ) x 解得对应的特征向量为
1 (0,0,1)
T
对于二重特征值
`2 `3 1 ，由 ( A I ) x
T
只解得唯一的特征向量为
( j 1, 2, , ki ) 是矩阵 A 关于特征 ( ni j ) ( 2) 值 i 的一个特征向量， pi j ,, pi j 则称为 i ( ni j ) 的广义特征向量,称 pi j 为 i 的 ni j 级根向量。
其中， p
当所有的
n i j 1 时，可知 k i n i ，此时矩阵没
§1、矩阵的Jordan标准型
由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我 们“退而求其次”，寻找“几乎对角的” 矩阵。这就引出了矩阵在相似下的各种标 准型问题，其中Jordan标准型是最接近 对角的矩阵，只在第1条对角线上取1或0。 弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算 上以及应用上的许多问题就容易处理了， 当然花费也大了。
, 1 i mi mi
i 1, 2, , s
A C 。如果 A 的特征多项式可 分解因式为 ( ) ( ) m 1 ( ) m s 1 s
定理 2 设
nn
( m1 m2 ms n)
则 A 可经过相似变换化成唯一的 Jordan标准型 J (不计Jordan块的排列次序)，即存在可逆矩阵(称为 Jordan变换矩阵) P C nn 使
2 0 0 JA 0 1 1 0 0 1
%ex401.m A=[-1 1 0;-4 3 0; 1 0 2]; [V,D]= eig(A) %应该使用内置的jodan函数 V=
0 0.4082 0.4082 0 0.8165 0.8165 1.0000 -0.4082 -0.4082
第四章 矩阵的标准型
标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相 似矩阵有许多相似不变量：特征多项式、特征 值（包括代数重数和几何重数）、行列式、迹 及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相 似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似 矩阵集合中的“代表矩阵”的问题。“代表矩 阵”当然越简单越好。对于可对角化矩阵， “代表矩阵”就是特征值组成的对角矩阵。特 别地，对于正规矩阵，可逆的相似变换矩阵特 殊化为酉矩阵或正交矩阵。但是令人非常遗憾 的是：一般矩阵未必与对角矩阵相似！！！
一、 从算术基本定理到Jordan标准型
我们知道，360的素因子有2，3，5，并且
360 2 3 5
3 2
一般地，对于整数，我们有算术基本定理： ms m1 m2 n p1 p2 ps 对于多项式，高斯在博士论文中证明了复数域是代数 封闭的，即对于n次多项式，成立代数基本定理：
T
1 1 0 A 4 3 0 1 0 2
由上例，存在可逆线性变换 x P y 使得
P AP J A
其中
1
0 1 0 P 0 2 1 , 1 1 1
2 0 0 JA 0 1 1 0 0 1
P ( p 1 , p 2 , , p t )
其中
pi
是 n n i 阶的矩阵。
由
AP P J A
，可知
A p i p i Ai ( i ) ( i 1, 2, , t )
进一步，根据 A i ( i ) 的结构，将
pi
列分块为
p i ( p i 1 , p i 2 , , p i ki )
J 2 ( 1 ) ( n12 2) 2 1 A ( ) 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 13
J ( )
( n 5)
p
(1) 11
p
(1) 12
p
( 2) 12
p
(1) 13
p
( 2) 13
p
( 3) 13
p
( 4) 13
1 2
p
(1) 11
p
(1) 12
p
( 2) 12
p
( 1) 13
p
( 2) 13
p
( 3) 13
p
( 4) 13
p p 1
( 5) 13
二、 Jordan标准型的一种简易求法
2
J1 ( 1 ) ( n11 1)
2 1 2
P AP J
或者 A 有Jordan分解
1
A PJP
1
二、 Jordan标准型的一种简易求法
2 2 1 2 2 1 2 1 2 A ( ) 1 1 1 2