调制信号的小波分析一、小波函数简介1.Haar小波最简单的小波函数，Haar小波是离散的，与阶跃信号相似，同Daubechies db1 小波是一样的。

2. Daubechies小波Daubechies小波是紧支正则小波，便于进行离散小波分析。

这类小波没有显式的表达式，除了db1（Haar）。

然而它的传递函数的模的平方是有简单的表达式的。

3. Biorthogonal小波此类小波具有线性相位，用于信号和图像重建。

4. Coiflet小波这个小波族是I.Daubechies应R.Coifman的要求所创建的，coif N较dbN有更好的对称性。

5.Symlets 小波此小波由Daubechies 提出，作为对db 小波族的修正，是一种近似对称小波，它和db 小波族的性质是近似的。

6.Morlet 小波其尺度函数不存在，小波函数为x e x x 5cos )(22-=ψ，Morlet 小波不满足容许性条件。

7.Mexican Hat 小波 小波函数为22412)1)(32()(x ex x ---=πψ，它是Gaussian 概率密度函数的二阶导数，由于它不存在尺度函数，因此不具有正交性。

8.Meyer小波Meyer小波的尺度函数和小波函数都在频域中定义，都具有显式的表达式。

二、连续小波变换从数学上来说，傅里叶变换就是将信号)f乘以一个复指数后在所有的时间(t域上求和。

变换的结果就是傅里叶系数。

相似的，连续小波变换（CWT）定义为，将信号乘以由尺度和位移确定的小波函数后，再在整个时间轴上相加。

CWT的变换结果是很多小波系数C,C是尺度和位移的函数。

大尺度对应于时间上伸展大的小波，小波伸展地越大，所比较的信号段就越长，所以小波系数所量度的信号特征也就越粗糙。

在计算机中，任何实数域的信号处理都是对离散信号的操作，那么，CWT 的连续性及它与DWT的区别表现在尺度的选取和对位移的操作。

与离散小波变换不同的是，只要在计算机的计算能力之内，CWT可以在每一个尺度上计算；在位移上连续是指小波可以在待分析函数的整个域上进行平滑的移动。

三、离散小波变换对于大多数信号来说，低频部分往往是最重要的，给出了信号的特征。

而高频部分则与噪音及扰动联系在一起。

将信号的高频部分去掉，信号的基本特征仍然可以保留。

信号的概貌主要是系统大的、低频的成分，大尺度；而细节往往是信号局部、高频成分，小尺度。

分解算法：1.产生两组系数：概貌系数cA1和细节系数cD1。

通过低通滤波器Lo_D卷积信号s得到cA1,通过高通滤波器Hi_D卷积s得到cD1，之后进行二抽取。

每个滤波器的长度是2N。

如果n = length (s),那卷积后概貌信号和细节信号的长度为n + 2N - 1,进行二抽取之后cA1和cD1的长度为floor（（n-1）/2）+N。

关于matlab中cwt算法的分析cwt算法的主要程序如下：function coefs = cwt(signal,scales,wname,plotmode,xlim)precis = 10;signal = signal(:)'; 输入信号len = length(signal);coefs = zeros(length(scales),len); 设置小波系数数组nbscales = length(scales);[psi_integ,xval] = intwave(wname,precis); 根据不同的小波计算其积分值wtype = wavemngr('type',wname);if wtype==5 , psi_integ = conj(psi_integ); end wtype＝5说明如果是没有尺度函数的复小波，将小波积分值取复共轭xval = xval-xval(1);dx = xval(2);xmax = xval(end);ind = 1;for k = 1:nbscales 计算各个尺度的信号的连续小波变换值a = scales(k);j = [1+floor([0:a*xmax]/(a*dx))]; 设置j，对积分值psi_integ进行采样例a=4,（0：1：4*xmax）/4*dx if length(j)==1 , j = [1 1]; endf = fliplr(psi_integ(j)); 将积分值即小波滤波器系数反转coefs(ind,:) = -sqrt(a)*wkeep(diff(conv(signal,f)),len);将信号与小波系数f进行卷积，再差分，截取中间数值ind = ind+1;enddummyCoefs = coefs;dummyCoefs = abs(dummyCoefs);plotCOEFS(axeAct,dummyCoefs,plotPARAMS); 可见，cwt画出的是小波变换系数的绝对值dummyCoefs，而返回值是coefs，不是绝对值。

算法理论分析：由于)(k s 是与)(abt -ψ的分段积分进行卷积，所以在程序中出现了一个diff 运算，对相邻的两个coefs 值进行相减，因此在变换图中，在不同频率变换处，出现混叠发散现象，难以得到准确清晰的频率分辨。

四、调制信号识别 （一）利用模式识别方法分类调制类型，所用的分类特征归纳起来主要有以下几种：1．直方图特征Liedtke 等人利用幅度、频率和相位的直方图分类通信信号。

2．统计矩特征由于直方图分类特征的维数太大，现在常用的分类特征是信号瞬时幅度、相位和频率函数的各阶统计矩特征。

3．变换域特征把信号变换到其它特征空间，利用新特征空间中的特征参数来识别调制类型。

（二）模最大值法对于3种基本的调制信号：ASK,FSK 和PSK 信号，可以将它们进行小波变换，分析变换后的参数特征来识别。

采用提取模最大值的方法来提取三种信号在小波变换域中的特征进行识别。

模极大值的定义：对0x 邻域内的任意点x ，若在尺度s 上满足),(),(0s x Wf s x Wf <，则称),(0x s 为一模极大值点，),(0s x Wf 称为在),(0x s 点的小波变换模极大值。

小波变换模极大值携带了信号的大部分信息，信号的所有奇异值点都被极大值点定位。

Mallat 证明了，通过模极大值可以对原始信号进行重建，得到一个近似的逼近。

因此提取模极大值可以分析信号的特征。

小波变换为什么能产生一个极大值？小波函数)(,t a τψ可以描述为一个带通滤波器组的脉冲响应，f f a /0=,0f 是带通滤波器的中心频率，f 是要分析信号的频率。

随着a 的变化，这样的一组滤波器，在时间轴上滑动，即τ改变，信号的不同频率成分将有可能进入其通带，对小波变换的模起到主要作用，当信号的某个频率不但进入其通带而且其频率恰好等于滤波器组的中心频率0f 时，将使得小波变换在此区域附近产生一个极大值，即),(τa W 局部最大。

提取所有时间轴上的模极大值，得到一条脊线，即为小波脊线法。

具体方法是，对任一固定时刻τ，遍历小波的尺度a ，找到),(τa W 在所有尺度上的最大值。

之后找到每个最大值所对应的尺度，根据尺度和频率的对应关系，f f a /0=，将尺度转换成频率，根据极大值的产生原理，这个频率就是输入信号的频率。

对每个时刻进行如此循环操作，便得到输入信号的频率曲线。

问题：1、主要提取信号的频率特征，通过分析频率曲线的阶数P ，可识别FSK 信号和ASK 、PSK 信号。

如果1=P ,则此信号是ASK 或PSK 信号；如果1≠P ,则此信号是FSK 信号，并且根据频率曲线可知此信号在某个时刻的频率。

对识别FSK 信号比较有效。

2、当信号的频率比较高时，识别效果比较好。

3、由于cwt变换在信号跳变处的混叠发散现象，在最大值搜索中，搜到一些伪最大值，影响了真实频率的提取。

ASK信号识别，SNR=5.7dBPSK信号，SNR=3.6dBFSK 信号，SNR=3.8dB高斯噪声在通信理论中，最重要的概率密度函数是高斯或正态概率密度函数。

统计学中的中心极限定理指出：在非常宽的条件下，大量N 个统计独立的随机变量i x 之和∑==Ni i x Z 1的分布律，不管每个i x 的分布律如何，在∞→N 的极限情况下，趋于高斯正态分布。

因此，高斯噪声是指其统计分布服从正态分布的噪声。

根据中心极限定理，高斯噪声是普遍存在的一种随机信号，这也是在分析设计中常常采用高斯噪声假设的原因。

七、过零点检测过零点抽样，在现代模式识别中是一个非常具有吸引力的工具，具有广泛的应用。

当输入信号穿越零值点时，过零点抽样记录下这些时刻。

当接收信号的相位变化时，过零点抽样提供了大量的有效信息，可以进行CW,AM,FSK,PSK 等信号的识别。

1．3个序列利用接收到的信号，可以创建3个序列)(),(),(i z i y i x 。

当接收信号进行过零点 抽样后，过零的时刻组成了一个过零序列},...,2,1),({N i i x =。

为了从)(i x 中提取相位和频率信息，又创建了)(i y 和)(i z 两个序列。

1,...,2,1)()1()(-=-+=N i i x i x i y 2,...,2,1)()1()(-=-+=N i i y i y i z2.相关过零变量的概率密度函数设接收信号)(t γ由正弦型信号和噪声组成：00)(2cos )(T t t v t f A t c ≤≤+=πγ第i 个过零点为N i i f i i x c,...,2,1)(25.0)(=+-=α)(i α 是由噪声和误差引起的随机变量。

在高CNR 下，)(i α的密度函数是高斯分布的，其均值为零，方差为γπσα22)2(21c f =γ是CNR ，定义为)0(22ψγA =。

那么过零间隔)(i y 为 )(21)(i f i y cε+=因此，)(i y 是关于频率量度的一个序列。

)()1()(i y i y i z -+=是对)(i y 变换的一个量度序列。

％％％％％％％％％％％％％％％％％％％％％％％％％％％％％％％％％％上式中)()1()(i i i ααε-+=，)(i ε的值依赖于载波的相位。

如果)(2i x f c π在2/π（mod π2）附近，则))]1(())(([21)(++-≅i x v i x v Af i c πε 如果)(2i x f c π在2/3π（mod π2）附近，则))]1(())(([21)(++≅i x v i x v Af i c πε 推导：)(i x Θ 是使)(t r 为零的点，∴当)(i x t =，0)(=t r 。

)]([2cos )]([i x f A i x v c π-=)](25.0[2cos i f i f A cc απ+--=)](2)2cos[(i f i A c απππ+--=)}(2sin )2sin({i f i A c απππ---=如果)(2i x f c π在2/π（mod π2）附近，则2ππ-i 也大约在2/π（mod π2）附近。