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4
5.1.2 專有名詞(續)
節點:圖中圓圈和向下的分 兒子:任何節點X，其子
支
樹的樹根Y，為X的
樹根:節點A
「兒子」
分支度:一個節點其所有子 父親:Y是X的「父親」
樹的數目 樹葉:分支度為0的節點
深度:樹的最高階層
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5.2 樹的表示法
一般化的串列表示 左子右兄弟表示法(圖一) 分支度為2的樹示法(圖二)
–(1) 存在一特殊節點R稱為樹根 (root) ； –(2) 其 它 節 點 可 分 割 成 n 個 無 交 集 的 集 合 。
T1, T2, …, Tn，n 0，而T1、T2、…Tn本身皆 為樹，稱其為R的子樹 (subtree) 。
在本章中若無特別聲明，所提到的樹皆為如 定義所描述的「有根樹」 (rooted tree)。
樹和二元樹之間的差異：
– (1) 樹不允許空節點，而空二元樹是允許的； – (2) 樹的子樹沒有順序，而二元樹的子樹有左右
之分。
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5.3.1 樹和二元樹的基本性質
樹或二元樹皆擁有下面的性質：
定理5-1：若一棵樹T的總節點數為V，總 邊數為 E，則 V = E +1。
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5.3.2 二元樹的性質
下圖(a) 稱為歪斜樹 (skew tree) ； (b) 稱為完 備二元樹 (complete binary tree) (其樹葉節點 皆在相鄰階層，完整定義在後)。
顯而易見地，同樣數目的樹節點放在歪斜樹 上，得花較多的階層；放在完備二元樹上， 則只須較少的階層。
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5.3.2 二元樹的性質(續)
號方法，可將1到n號分別找到對應的節點。
完滿或完備二元樹之所以受人注意，乃因它們可
以將節點以較少的階層- 數存放。
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5.3.2 二元樹的性質(續)
定理5-4：n個節點的完備或完滿二元樹，其 深度為 log2(n+1)。
在二元樹中非樹葉的節點，又稱為內部節點 (internal node) 。若所有內部節點恰有2個
T1 = (B, (E, K), (F, L, M), G)
T2 = (C, H)
T3 = (D, (I, N), (-J, O, P))
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程式5-1 一般化串列鍵結節點的宣告
1 struct TreeNode
2 { int tag;
3 union
4truct TreeNode *Tlink;
子節點，即成為正規二元樹。正式定義如下：
»定義：若二元樹中所有內部節點恰有2個子節點， 則稱之為正規二元樹 (formal binary tree) 。
正規二元樹常被引用在單淘汰賽制的各項賽程 安排。樹葉為參賽隊伍，內部節點為優勝隊伍， 樹根即為冠軍隊伍。
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5.4 二元樹的表示法
指標分別指向該節點的左 子樹和右子樹。
二元樹的節點構造
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分支度為2的樹表10示法
5.3 二元樹
二元樹是一個由節點組成的有限集合，可以 是空集合，或是包含了
– (1) 一個樹根節點； – (2) 其它節點分割成兩個沒有交集的二元樹，其一
為左子樹 (left subtree) ，另一為右子樹 (right subtree)
由定理5-2 (2) 可得深度k的二元樹其最多節點數E 為2k-1。這樣的樹會將樹上所有可能存放節點的 位置都已放滿，完滿 (full) 之名因而生成。
我們可對二元樹上節點予以編號，階層小者先編， 同一階層則自左向右編號，這樣的編號方式，
使我們定義出完備二元樹。
– 定義：深度為k，節點數為n的二元樹稱為完備二元樹， 若且唯若以階層小者先編號，同一階層由左至右遂一編
定理5-2說明了：
»(1) 每一階層上可放的最多節點數； »(2) 階層數已知時，二元樹可放的最多節點數。
– 定理5-2：
»(1) 二元樹上階層i的節點數目最多為2i-1，i 1； »(2) 深度為k的二元樹，其節點數目最多為2k-1，k 1。
對二元樹而言，任一節點的分支度可能為0、1、 或2；分支度為0者是為樹葉。樹葉的數目與分支 度為2的節點數目，存在著有趣的關係，請見定理 5-3。
資料結構與演算法
第五章 樹
徐熊健
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目錄
5.1 樹的概念
5.2 樹的表示法
5.3 二元樹
5.4 二元樹表示法
5.5 二元樹的走訪
5.6 二元樹的複製與相等測試
5.7 引線二元樹
5.8 堆積
5.9 二元搜尋樹
5.10 樹林
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5.1 樹的概念
樹 (tree) 是一種重要的離散結構 (discrete structure)，它提供一種「具有 層次關係」的概念來結構資料。
圖一
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圖二
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5.2.1 一般化的串列表示法
上圖的樹可表示成下面的一般化串列：
(A, (B, (E, K), (F, L, M), G), (C, H), (D, (I, N), (J, O, P)))
若將節點A的三兒子B、C、D所形成的3個子樹，分別 取名為T1、T2、T3，則此樹可簡化成
其中
(A, T1, T2, T3)
樹為節點組成的有限集合，其中
– (1)存在一特殊節點R稱為樹根 (root) ； – (2)其它節點可分割成n個無交集的集合。
T1, T2, …, Tn，n 0，而T1、T2、…Tn本 身皆為樹，稱其為R的子樹 (subtree) 。
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5.1.2 專有名詞
樹的定義：樹為節點組成的有限集合，其中
– 定理5-3：
»若T為一非空的二元樹，n0為樹葉節點數目，n2為分
支度為2的節點數目，則-n0 = n2+1。
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5.3.2 二元樹的性質(續)
下面是完滿二元樹 (full binary tree) 和完備二元樹 (complete binary tree) 的定義：
– 定義：一個深度為k的完滿二元樹即為一深度為k且有2k-1 個節點的二元樹，k0。
6 } node;
7 struct TreeNode *link;
8 };
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5.2.2 左子右兄弟表示法
每個節點都有唯一的最左兒子 (leftmost child) ； 每個節點都有最靠近它的右兄弟。
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5.2.3 分支度為2的樹表示法
分支度為2的樹又稱為二元樹 (binary tree)。 二元樹中任一節點皆有2個