数学中类比学习法案例及其需要注意的问题摘要：类比在数学学习的过程中有着极其重要的作用，巧用类比学习可以加深对知识点的理解和记忆，不仅如此，类比还有发现新知识的作用，多用于猜想和发现新命题。

但类比也应该注意类比的对象、方向、技巧和范围。

文章从新课改下的高中数学出发，以人教版A 版数学教材为依托，论述了类比学习法的几个经典案例和类比时需要注意的几个问题。

关键词：类比；反思；猜想；案例数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，有着极其严谨的逻辑性、科学性、系统性。

数学知识呈现出一定的相似性，如果能在不同的知识间建立一个强大的网络体系，用知识间的相似性掌握不同的知识，将对数学的学习有重要的作用，这期间的方法就是类比。

巧用类比能够帮助我们理解超越一般思维的知识，会对未知世界作出重要的预测。

所谓的类比就是通过对两个研究对象的比较，根据它们在某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相似之处，推断它们在其他方面的相同或相似之处的一种推理方法；也可以将类比理解为根据两个对象具有某些相同的属性而推出当其中一个对象具有一个性质时，另一对象也具有同样的或者相似的性质的一种推理方法。

用波利亚的话来说就是，“类比是某种类型的相似性，我们可以说它是一种要确定的和更概念性的相似。

”【案例一】中点坐标公式1、1维时的中点坐标公式x 轴上有两个点21x x 、，则它们的中点是221x x +。

如1和3在数轴上的中点是2，算法是2312+=。

2、2维时的中点坐标公式在平面直角坐标系中，已知两点坐标分别为：),(11y x A 、),(22y x B ，则它们的中点),(00y x C 的算法是2210x x x +=，2210y y y +=。

3、3维时的中点坐标公式在空间直角坐标系中，已知两点坐标分别为：),,(111z y x A 、),,(222z y x B ，则它们的中点),,(000z y x C 的算法是2210x x x +=，2210y y y +=，2210z z z +=。

【反思】中点坐标公式在3个维度中的形式都一样，即中点的坐标都是两端点“坐标值”的算术平均值。

基于此，可以类比猜想更高维度的中点坐标公式。

【类比】4、n 维时的中点坐标公式在n 维坐标系中，已知两点坐标分别为：),,,(21n a a a A 、),,,(21n b b b B ，则它们的中点),,,(21n c c c C 的算法是2iii b a c +=),,2,1(n i =。

【案例二】中点公式的向量形式 1、2维时线段中点公式（平面向量的中点公式）如图1，在ABC ∆中，D 是AB 边上的中点，则有)(21AC AB AD +=【证明】D 是BC 的中点，BC BD 21=∴， 又AB AC BC -= ，(21)(2121AC AB AB AC AB BC AB BD AB AD =-+=+=+=∴【类比】2、3维时线段中点公式（空间向量的中点公式）如图2，在三棱锥BCD A -中，点E 是面BCD )(31AD AC AB AE ++= 【证明】连接BE 并延长交DC 于F ， E 是三角形BCD 的重心， F ∴是DC 的中点，由前可知)(21BD BC BF +=，又AB AC BC -= ，AB AD BD -=，BF BE 32=， ).(31)(31)(3132AD AC AB AB AD AB AC AB BD BC AB BF AB BE AB AE ++=-+-+=++=+=+=∴【反思】3维情形下的线段中点公式和2维情形下的线段中点公式相似，3维中的“重心”类比于2维中的“中点”，2维中的目标向量是平面基底的21，3维中的目标向量是空间基底的31，基于此，可以类比猜想n 维情形下的线段中点公式。

【类比】3、n 维时线段中点公式（高维空间向量的中点公式）类比3维时的情形，首先我们先定义一个“超平面”，超平面是在3维及其以上的空间中存在的平面，设P 是超平面n A A A 21的“超重心”（类比于三角形的重心），O 点是超平面n A A A 21所对应的顶点，则和2维、3维时的情形相类似，有)(121n OA OA OA nOP ++=. 【案例三】两点间的距离公式1、1维坐标轴上两点间的距离公式如图3，在x 轴上有两点B A 、，它们所对应的数值分别是21x x 、，则B A 、两点间的距离为12x x d AB -=.2、2维平面直角坐标系中两点间的距离公式 在平面直角坐标系中有两点B A 、，它们所对应的坐标分别是),(),(2211y x y x 、，则B A 、两点间的距离为212212)()(y y x x d AB -+-=.【反思】类比2维中的两点间的距离公式可知，1维中的两点间的距离公式可写为21212)(x x x x d AB -=-=，那么2维中的距离公式相当于是在1维的基础上在公式中的根号下多加了一个平方式，这个式子正是2维情形中已知点的另一坐标差的平方，由此可直接类比猜想3维中的两点间的距离公式如下。

3、3维空间直角坐标系中两点间的距离公式在平面直角坐标系中有两点B A 、，它们所对应的坐标分别是),,(),,(222111z y x z y x 、，则B A 、两点间的距离为【类比】4、n 维坐标系中两点间的距离公式在n 维空间坐标系中有两点B A 、，它们所对应的坐标分别是),,(),,(2121n n y y y x x x 、，则B A 、两点间的距离为2222211)()()(n n AB x y x y x y d -+-+-=【案例四】对称问题1、数1和3关于2对称（常值函数的对称）将1、3、2看成是三个常值函数，即1=y 、2=y 、3=y ，便有常值函数的对称，函数1=y 和函数3=y 关于函数2=y 对称。

2、一般函数的对称如果函数)(x f 满足)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2b a x +=对称。

【反思】这种对称就好比是两个点x a +和x b -关于其中点2b a +对称一样。

既然任意两个自变量x a +和x b -关于点2b a +对称，那么整个函数的图象就关于直线2b a x +=对称。

3、等差数列的等差中项如果数列{}n a 是等差数列，那么它的任意连续三项满足：212+++=n n n a a a ，意思是1+n a 是n a 和2+n a 的等差中项，于是有221+++=n n n a a a 。

【反思】等差数列的项的对称就是两个函数值n a 和2+n a 关于另一函数值1+n a 的对称，这和数1、3关于2对称的道理是一样的，都属于点关于点的对称。

212212212)()()(z z y y x x d AB -+-+-=【类比】4、点关于直线的对称点平面内的一点P 关于直线l 的对称点'P 满足：点P 和点'P 的中点0P 在直线l 上，且直线'PP 与直线l 相互垂直。

5、点关于平面的对称点空间中的一点P 关于平面α的对称点'P 满足：点P 和点'P 的中点0P 在平面α内，且直线'PP 与直线α相互垂直。

6、直线关于直线的对称直线平面内的一条直线1l 关于直线0l 的对称直线2l 满足：如果1l ∥0l ，那么2l 在0l 的另一侧，且2l ∥0l ，2l 到0l 的距离2d 等于1l 到0l 的距离1d ；如果A l l =⋂01，那么2l 也过点A ，且2l 与0l 的夹角2θ等于1l 与0l 的夹角1θ。

7、直线关于平面的对称直线空间中的任意一条直线1l 关于平面α的对称直线2l 满足：如果1l ∥α，那么2l 在α的另一侧，且2l ∥1l ，2l 与1l 确定的平面β垂直于平面α，2l 到α的距离2d 等于1l 到α的距离1d ；如果A l =⋂α1，那么2l 也过点A ，且2l 与1l 所确定的平面β垂直于平面α，2l 与α的夹角2θ等于1l 与α的夹角1θ；特别地，如果α⊥1l ，那么1l 关于平面α的对称直线依然是1l 。

8、平面关于平面的对称平面空间中的任意一个平面1α关于平面α的对称平面2α满足：如果1α∥α，那么2α在α的另一侧，且2α∥α，2α到α的距离2d 等于1α到α的距离1d ；如果l =⋂αα1，那么2α也过直线l ，且2α与α的夹角2θ等于1α与α的夹角1θ；特别地，如果αα⊥1，那么1α关于平面α的对称平面依然是1α。

9、平面几何图形关于直线的对称图形平面几何图形C 关于直线l 的对称图形'C 满足：'C 和C 全等，'C 和C 在直线l 的两侧，且C 上任意一点P 关于直线l 的对称点'P 在'C 上。

10、空间几何体关于平面的对称几何体空间几何体E 关于平面α的对称几何体'E 满足：'E 和E 全等，'E 和E 在平面α的两侧，且E 上任意一点P 关于平面α的对称点'P 在'E 上。

【案例五】方程与方程组思想1、函数求解析式问题例 （1）已知23)1(2)(+=-x xf x f ，求)(x f 。

（2）已知)1(2)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f 。

【反思】以上两个求函数解析式的问题，都是只给了一个式子，式子中出现了两个不同的函数值，其中两个自变量要么互为倒数，要么互为相反数。

此时，可以分别在题目所给式子中以x1和x -代换x ，就会分别再产生一个式子，将新得的式子和原式联立成方程组，分别将)(x f 和)1(x f 、)(x f 和)(x f -看成是方程组的两个未知量，利用解方程组的办法就可以将)(x f 的解析式求出。

2、向量求坐标问题例（2013常州期末调研）已知向量a ，b 满足)4,2(2-=+b a ，)16,8(3-=-b a ，则向量a ，b 的夹角的大小为 。

【解析】设),(11y x a =，),(22y x b =，则)4,2()2,2(22121-=++=+y y x x b a ，{22422121=+-=+∴x x y y ，同理得：{831632121-=-=-x x y y ，解得：{2411-==x y ，{2422=-=x y ， b a -=∴，故a 、b 的夹角为π。

【反思】推广的方程组思想方程和方程组的思想是一种很重要的思想，方程（组）中的未知数可以是一些字母，也可以是其他的一些未知量，如函数、向量等，如上面的例题还可以如下求解。

【另解】将a 和b 看成是两个未知量，联立a 和b 的方程组得：{)4,2(2)16,8(3-=+-=-b a b a ，将第二式乘以2和第一式相加得，)28,14(7-=a ，)4,2(-=∴a ，代入第二式得)4,2(-=b ，于是b a -=，故a 、b 的夹角为π。