3-4 弹性支座与弹性固定端的概念
本节主要通过力法解杆系结构的例子引出弹性支座与弹性固定端的 实际概念。
1、弹性支座
q
I
l/2 R l/2
R
l1/2
l1/2
3-4 弹性支座与弹性固定端的概念
根据原结构节点处位移连续条件，列出力法方程为：
ql4 Rl3 Rl13 384EI 192EI 48EI1
X n

Δnp

3-3 刚性支座上连续梁与不可动节点简单刚架 计算
1、刚性支座上连续梁与三弯矩方程
1
2
i-1
M1
1
M2
2
i
i+1
n-1
n
Mn Mn-1
n-1
n
1、刚性支座上连续梁与三弯矩方程
根据原结构在固定端处转角为0和在每一个中间支座处转角连续的条件， 可列出力法方程：
l 3EI
i1
M i1
i
i
Mi
Mi
i1
M i1
li 1
i-1
i
li
i
i+1
根据中间支座i处转角连续的条件： i＝（2M i1

li 3EI i
Mi
i (qi1) i
i 1
li1

li 3EI i
Mi

li1 6 EI i 1
（2）去掉多余约束后的体系，必须是几何不变的体系，因 此，某些约束是不能去掉的。
3-2 力法的基本原理及典型方程
M1
1
M2
M2
2
2
为使新静定结构与原结构等效， 必须满足以下变形协调条件：
(1)固定端处的转角为0；
12 0
(2)中间支座处的转角连续；
21 23
3
3-2 力法的基本原理及典型方程
A
一次超静定结构的力法方程
A
式中δ11 、Δ1P被称为系数
和自由项，可用求解静定结构位移的方法求出。
B
B
X1
B
1P
δ11X111 B
X1
1×X1
3-2 力法的基本原理及典型方程
② 求系数δ11 、自由项Δ1P
ql 2 2
δ11 Δ1P——均为静定结构在已 A 知力作用下的位移，故可由积分 法或图乘法求得。
第三章
力法
3－1 超静定结构的组成与超静定次数的确定
力法是计算超静定结构最基本的方法之一。 1、超静定结构的组成
静定结构：几何不变而又没有多余联系的体系，其反力和内力只需根据静 力平衡方程即可求得；
超静定结构：几何不变但有多余联系的体系。其反力和内力仅根据静力平 衡方程无法确定。
3－1 超静定结构的组成与超静定次数的确定
ln1 3EI n1
Mn


n
(qn1
)

n
n 1
ln1

AnM n
1、弹性支座上连续梁计算
上述n个方程无法解出n个未知弯矩；因为还有n个未知数 1 n
因此还需要补充n个方程进行求解。
A R 根据以下关系： i
i i 支座反力R根据剪力求取。
根据i跨梁的平衡方程有：
2、超静定次数 通常将多余联系或多余约束力的数目称为结构的超静定次数。 如果从结构中去除n个约束结构就变为静定的，则原结构为超静 定结构。
一次超静定
3－1 超静定结构的组成与超静定次数的确定
3、去掉超静定的方法
① 撤去一个活动铰支座； 在支座处切断一根梁（支座保留）；
去掉一个 多余联系
3－1 超静定结构的组成与超静定次数的确定
可为正、负或零，且由位移互等定理： δij =δji
3-2 力法的基本原理及典型方程
自由项Δ i P ——荷载FP单独作用于基本体系时，所引
起Xi方向的位移，可正、可负或为零。
δ11
L δ1n
LL


X1 M


Δ1p M

0
δn1 L
δnn



(n1)(n2)
(n1)(n1) (nn1)

( n 1) n
nn


M
n1
M n


(n
1)
p

np
1、刚性支座上连续梁与三弯矩方程
11

l1 3EI1
ii 1

li1 6EIi1
N ii

M i1 M i li1

Ni (qi )
支座处剪力与支座反力的关系为：
Ri Ni(i1) Nii
i跨梁上所有外载荷引起的 梁左端截面上的剪力
N i(i1)
qi
Mi
R1 N11 Rn Nn(n1)
Nii
N i1 M i1
1、弹性支座上连续梁计算
则总共有2n个方程，2n个未知数，整理得：
此方程不依结构形式变化而产生变化，称为力法的典型 方程。
3-2 力法的基本原理及典型方程
主系数δii(i ＝1,2, …n)——单位多余未知力 Xi＝1
单独作用于基本结构时，所引起的沿其本身方向上 的位移，恒为正；
副系数δij(i ≠j)——单位多余未知力 Xj＝1
单独作用于基本结构时，所引起的沿Xi方向的位移，
4
2 1
3 5
2、弹性固定端
图为双甲板船舱口部位的上甲板横梁与甲板间肋 骨组成的刚架。
基本结构如下图所示：
根据连接处转角连续，列出的力法方程如下：
l1 M l M ql3 3EI1 3EI 24EI
此表达式与下述结构左端转角表达式相同。
A M

l 3EI
M

ql3 24 EI
梁0－1相当于杆1－2的弹性固定端。
, ii

li1 3EIi1

li 3EIi
nn1

ln1 6EI n1
, nn

ln1 3EI n1
2、不可动节点简单刚架计算
船体刚架： 横梁； 肋骨； 肋板；
概念： （1）简单刚架：每一个节点处只有两根杆件； （2）复杂刚架：节点处的杆件多于两根； （3）不可动节点刚架：节点处线位移可以忽略不计，可视为固定铰支座； （4）可动节点刚架：节点处线位移需要计入。
（4）在杆系分析中，如果要计算某一根杆件，只需考虑与它相邻的那一 根杆件的影响而无需考虑选离此杆件的其他杆件对它的作用。
2、弹性固定端的固定系数
如果杆系结构中的所有杆件上都有外载荷作用，那么其中任何一根杆件 都不能作为另一根杆件的弹性固定端，因此，柔性系数无法求出。
因此引入一个关于弹性固定端固定程度的新定义，叫做固定系数。
A
l
B
M图
3-2 力法的基本原理及典型方程
4）力法的典型方程
对于n次超静定结构，其力法方程组可写成：
11X1 12 X 2 ...1n X n 0 21X1 22 X 2 ... 2n X n 0
...
n1X1 n2 X 2 ... nn X n 0
M1
M2
M2
1
2
l 3EI
M1
l 6EI
M2

ql3 24 EI
0
M 1l 6EI

M 2l 3EI

ql3 24 EI

l 3EI
M2

ql3 24 EI
2
变形3协调方程
力法方程
l 3EI
M1
l 6EI
M2

ql3 24 EI
0
l 6EI
M
1

2l 3EI
M2
ql3 12 EI
(1

1)
上述关系式并不普遍成立，但是：
A 0 A
1 0
3-5 弹性支座上连续梁计算
船体结构中也存在弹性支座上的连续梁计算： 如搁置在墩木上的船体，墩木对船体的支持相当于弹性支座。
1
2
i-1
i
n-1 n
弹性支座上连续梁的解法与刚性支座上的解法类似，采用力法进行求解。
1、弹性支座上连续梁计算
＝0，自由支持端 ＝1，刚性固定端
M弹
M刚
固定系数为弹性固定端弯矩与假想为刚性固定端时的弯矩之比。
2、弹性固定端的固定系数
定义固定系数并不要求弯矩与转角成正比，因此固定系数与柔性系数并无关联。 为了实际的需要，目前在船舶结构分析中存在一个关系式：
1
1 2 A EI l
A

l 2EI
基本体系
X1 — 称为力法的基本未知量。
3-2 力法的基本原理及典型方程
q
（3）求基本未知量X1 ① 建立变形协调方程
A
B
l
==
基本体系与原结构在去掉多
q
余约束处沿多余未知力方向上
的位移应一致，即：Δ1 ＝0
A
由迭加原理，上式写成：
q
B
X1
B
Δ1 ＝Δ11＋Δ1P＝0
A
11
+
——变形协调方程。
Δ11：由多余未知力X1单独作用 A 时，基本结构B点沿X1方向产生的位移
...
...
.
.
.

M
n1


(n
1)
p


I
等效
l/2 R l/2