梁的剪力方程
V=V (x)
梁的弯矩方程
M=M(x)
剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直 于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘 制表示V (x)和M(x)的图线。这种图线分别称为 剪力图和弯矩图，简称V图和M图。绘图时一 般规定正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪 力画在x轴的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯 矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。
画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段， 分段建立方程，依方程而作图
例题1 简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力 由对称关系，可得：
2、建立内力方程
V x
RA
qx
1 2
ql
qx
(0<x<l)
3、依方程作剪力图和弯矩图
Vmax=
1 ql 2
Mmax 1 ql 2 8
例2 简支梁受集中荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
1.求约束反 力 2、分段建立方程 AC段： V
CB段： V
3、依方程而作图
例题3 简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪 力图和弯矩图。 解：1.求约束反力
2.列剪应力方程和弯矩方程 AC段: V
CB段：V
3、依方程而作图
荷载图、剪力图、弯矩图的规律
(kN)
E
3
x=3.1m
3
2.2
(kN·m)
1.41 3.8
FB 3.8
CA和DB段：q=0，V图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， V 图为向下斜直线， M图为下凸抛物线。
2.作剪力图和弯矩图
由剪力图和弯矩图可知：
FQ max F M Fl
max
例题2 简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力
由对称关系，可得：
FAy
FBy
1 2
ql
2.列剪力方程和弯矩方程
1 FQ (x) FAy qx 2 ql qx
M (x)
FAy x
从左往右做图
在无荷载作用的梁段：剪力图为水平线，弯矩图为斜直线， 斜率的大小等于对应梁段上剪力的大小。V>0时向右下方斜斜， V<0时向右上方倾斜，V=0时为水平线。 在均布荷载作用的梁段上：剪力图为斜直线，斜率等于荷载 集度，q<0（ ）向右下方倾斜，反之，向右上方倾斜。 弯矩图为二次抛物线，q<0，向下凸起；q>0（ ）向上凸。 遇到集中荷载：剪力图突变，突变方向与集中荷载方向相同， 突变大小等于集中荷载的大小。弯矩图出现转折，转折方向与 集中力的方向相反。 遇到集中力偶：剪力图不变，弯矩图突变，突变方向由力偶的 转向决定，逆上顺下。突变大小等于力偶矩的大小。 极值弯矩：集中力作用截面、集中力偶截面或弯矩为零的截面。
(4) 在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针方向的集中力偶 使突变方向由上而下；反之，由下向上。突变的数值等于该集 中力偶矩的大小。
3. 弯矩图与剪力图的关系
(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二次抛物线。当FQ 图为平行于x轴的直线时，M图为斜直线。
各控制点处的FQ值如下：
FQA右=FQC左=15kN
FQC右=FQD=15 kN －10kN=5kN
FQD=5kN
F QB左=－15kN
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3. 画M图
MA = 0, MC =15kN×2m=30 kN.m MD = 15kN×4m－ 10kN×2m=40kN.m
MD右= 15kN×4m－ 5kN×4m×2m=20 kN.m
• 口诀表述：剪力图 力偶荷载无影响。 弯矩图 力偶荷载有突变。
二、根据内力图规律做图
１.剪力图与荷载的关系
（１）在均布荷载作用段， FQ图是斜直线，倾斜方向与荷载指向相同 (2)无荷载作用区段，即q(x)=0，FQ图为平行x轴的直线。 (3)在集中力作用处，FQ图有突变，突变方向与外力一致，且突变的数值等 于该集中力的大小。 (4)在集中力偶作用处，其左右截面的剪力FQ图是连续无变化。
1 9x2 2
1 qlx 2
1 qx2 2
3.作剪应力图和弯矩图
最大剪力发生在梁端，其值为
F1 ql Qmax 2
最大弯矩发生在跨中，它的数值为Mmax
1 ql 2 8
经分析可得出：剪力、弯矩
随荷载变化的规律
无 荷 载 区 段：剪力图水平
线；弯矩图斜直线（剪力为
正斜向下，倾斜量等于此段
剪力图面积）。
见，梁上点D左侧相邻的横截面
上弯矩最大，
Mmax
M D
2.4kN m
例8 试画出图示梁的内力图。
q＝5kN/m
2kN
A
CB
8m
1m
19.75kN
（Q） +
x=3.95m
（M） +
2kN
+
-
20.25kN
2kNm
-
39kNm
梁的内力图—剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程
由前面的知识可知：梁的剪力和弯矩是随截面位置变化 而变化的，如果将x轴建立在梁的轴线上，原点建立在梁 左端，x表示截面位置，则V和M就随x的变化而变化，V 和M就是x的函授，这个函授式就叫剪力方程和弯矩方程。
所示的剪力图 。可见， 在AD段
RB 剪力最大，
Q 7kN max
根据
＋
（Q） －
－
3kN
（M）
1.8kNm －
1.2kNm
＋
＋
2。4kNm 1.25kNm
MC ＝0、 MA ＝－1.8kNm MB ＝0 、ME ＝1.25kNm、
MD＋ ＝－1.2kNm 、
5kN
MD－ ＝2.4kNm 的对应值便可作 出图(c)所示的弯矩图。由图可
vv vv
vv v v
v
利用上述规律：
1、可以检查剪力图和弯矩图是否正确。 2、可以快速的绘制剪力图和弯矩图，步骤如下： （1）将梁正确分段 （2）根据各段梁上的荷载情况，判断剪力图和弯矩图的 形状
（3）寻找控制面，算出各控制面的V和M （4）逐段绘制出V和M图即梁的V和M图
快速绘制剪力图和弯矩图 q
MB=0
3
ME
15kN 3m 5kN / m 3m
m 2
22.5kN·m
m=3.6kNm
P＝3kN
q=10kN/m
x
AD
C
a=0.6m
RA
a=0.6m
E
2a=1。2m
7kN
根据
QB－ ＝－5kN QC＋ ＝－3kN 、
B QA＋ ＝7kN 、QA－ ＝－3kN 、
QD ＝7kN的对应值便可作出图(b)
FAy
Me l
, FBy
Me l
2.列剪应力方程和弯矩方程
AB段：
FQ
(x)
Me l
（0<x<l）
AC段：
Me
M (x) FAy x l x (0≤x≤a)
CB段：
M (x)
FAY
x
Me
Me l
x
Me
(a<x≤l)
3.绘出剪力图和弯矩图
• 力偶荷载作用点：剪力图无变化；弯矩图有突变（荷载逆 时针转向，向上突变，突变量等于荷载的大小）。
2.弯矩图与荷载的关系
(1)在均布荷载作用的区段，M图为抛物线。
(2)当q(x)朝下时，d 2dMx2(x) q(x) 0 M图为上凹下凸。
d
当q(x)朝上时，
2M (x) dx2
q(x)
0
M图为上凸下凹。
(3) 在集中力作用处，M图发生转折。如果集中力向下，则M 图向下转折；反之，则向上转折。
A
C
D
B
FA
a
c
l
b
FB
F
Fa
a
a
5
kN
2kN m
4m 3kN
kN
3
kNm
kNm
4kN m
6kN
1m
1m
4.5
1.5
2kN m
2m
kN 5.5
kNm
A C
外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的内力图。
解： 1、求支反力
B D
FA 7.2kN FB 3.8kN
2、判断各段V、M图形状：
FA
4.2
剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方 向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示FQ (x)和M(x)的图线。 这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称FQ图和M图。
绘图时一般规定正号的剪力 画在x轴的上侧，负号的剪力画 在x轴的下侧；
正弯矩画在x轴下侧，负弯矩 画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受 拉的一侧。
一、根据内力方程作内力图
剪力方程——表示横截面上剪力FQ随横截面位置x而变化的函数关系； 弯矩方程——表示横截面上弯矩M随横截面位置x而变化的函数关系。
例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用，试作此 梁的剪力图和弯矩图
解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ (x) F M (x) Fx
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
(3) 剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具有 极值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、 负号的截面，弯矩也具有极值。
例题５ 简支梁如图所示，试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分 关系作此梁的剪力图和弯矩图。
解： 1. 求约束反力
FAy 15kN, FBy 15kN