57.0
58.5 60.0 61.5
11
15 2 4
627
877.5 120 246
合计
200
10695
平均数有以下几个基本特性：
• （1）平均数的计算与样本内每个值都有关， 它的大小受每个值的影响。 • （2）若每个xi都乘以相同的数k，则平均数 亦应乘以k。 • （3）若每个xi都加上（或减去）相同的数A， 则平均数亦应加上（或减去） A。
众数（Mode）
• 资料中出现次数最多的那个数或频数最多
一组的组中值，记为Mo。
50只小鸡出壳天数的频数分布表
出壳天数 19 20 21 22 23 24 合计 频数（f） 2 3 10 24 9 2 50 fx 38 60 210 528 207 48 1091
fx x f 1091 50 21.82
n1 x1 n2 x 2 x n1 n2
k • 同理： f i xi f1 x1 f 2 x2 f k xk fx i 1 x k f f1 f 2 f k f i i 1 • 各组的次数 fi 是权衡各组中值 xi在资料中所 占比重大小的数量，因此f被称为是x的 “权”，加权法也由此而得名。
45.0
46.5 48.0 49.5 51.0
fm
90
93 480 594 1326
2
2 10 12 26
x =10695/200
51.75—
53.25— 54.75—
52.5
54.0 55.5
44
43 29
2310
2322 1609.5
=53.475
56.25—
57.75— 59.25— 60.75—
当n为偶数时， n / 2 和 n /2 1 位置的两个观察值之和 的二分之一即为中位数，即：
Md
xn / 2 x(n / 21) 2
若资料已分组，并编制成了频数分布表，可利用频数 分布表计算中数。
其中：L—中位数所在组的下限；i—组
i n M d L ( c) f 2
距；f—中位数所在组的频数； n—总频数；c—小于中数所在组 的累积频数。
(x y z ) x y z
i i i i i
i

x x
i 1 j 1 ij j 1 i 1
k
n
n
k
ij
总和符号内的常数因子可以提取到总和符号之外，即
ax
i
a xi
（a为常数）
2. 加权法 • 如果样本中有n1个x1，有n2个x2，那么， n1+n2个数的平均数是加权平均数。
[例]某地区有164人因沙门氏菌食物中毒，其潜伏期资料经 整理如下表，试计算中位数。 潜伏期（小时） 0—— 12—— 24—— 36—— 48—— 60—— 72—— 病例数f 25 58 40 23 12 5 1 累计例数 25 83 123 146 158 163 164
此例i 12, n 164, L 12, f 58, C 25 i n 12 164 M d L ( c) 12 ( 25) 23.8(小时) f 2 58 2
中位数(median)
• 将资料中所有观察值从小到大依次排列， 处于中间位置的数。以Md表示。 • 适用条件 资料呈偏态分布或频数分布类 型不明，以及一端或两端无确定数值,这种 资料用中位数作为代表值比用算术平均数 为好。 • 非频数资料，先将各观察值由小到大排 列，当n为奇数时，第(n+1)/2位置的观察值 即为中位数，即： Md =x (n+1)/2
• 资料中各观察值的总和除以观察值的个数 所得的商，称为算术平均数，简称为平均 数或均数。用符号 表示。 • 平均数的意义： 平均数用来描述资料的集 中性，即指出资料中数据集中较多的中心 位置,常用于同类性质资料间的相互比较。
x
计算方法 1. 直接法 适用于样本含量较小的非频数资料 • 如果一个含量为n的样本，其n个观察值分 别用x1、x2……xn表示，则它们的平均数为
x
x1 x2 n
xn

x
i 1
n
i
n
n i 1 i
x • 其中，（Sigma）为总和符号， 表示从
第一个观察值x1累加到第n个观察值xn，若 在意义上已明确时，简记为x。
关于总和符号的几个性质
常数的总和等于该常数的n倍，即
C nC
i 1
ห้องสมุดไป่ตู้
n
其中C为常数
代数和的总和等于总和的代数和，即
fx x f 1091 50 21.82
• 在计算连续型频数资料的平均数时，
x
( fm)
i 1
k
i
N
• 式中m为组中值，f、N和k同上式。
表3-2 某纯系蛋鸡200枚蛋重的频数分布表
组 别
44.25—
45.75— 47.25— 48.75— 50.25—
组中值m 频数（f）
=53.475
51.75—
53.25— 54.75—
52.5
54.0 55.5
44
43 29
2310
2322 1609.5
Md=53.35 fmax=44, Mo=52.5
• 在计算离散型频数资料的平均数时，
x
( fx)
i 1
k
i
N
• 式中x为组值，f为频数，N为总频数（∑f）， k为组数。
表3-1 50只小鸡出壳天数的频数分布表
出壳天数 19 20 21 22 23 24 合计 频数（f） 2 3 10 24 9 2 50 fx 38 60 210 528 207 48 1091
fmax=24, Mo=22
Md=22
表3-2 某纯系蛋鸡200枚蛋重的频数分布表
组 别
44.25—
45.75— 47.25— 48.75— 50.25—
组中值m 频数（f）
45.0
46.5 48.0 49.5 51.0
fx
90
93 480 594 1326
2
2 10 12 26
x =10695/200
第 3 章 平均数、标准差与变异系数
• 数据有两种变化趋势：集中趋势和离散趋 势。 • 表示数据集中趋势的指标有多个，如平均 数（算术平均数、几何平均数）、中位数、 众数，使用最多的是算术平均数。 • 表示数据离散趋势的指标有多个，如极差、 平均离差、方差与标准差，使用最多的是 方差与标准差。
一、集中趋势